步步高二轮高三数学专题一 第1讲

可得cos 2A>cos 2B>cos 2C，反之也成立．

所以在△ABC中，“Acos 2B>cos 2C”的充要条件，故选C. 热点三 逻辑联结词、量词

1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

2．命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．

3．“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定为“?x∈M，綈p(x)”．

x

??2，x<0，

例3 (1)已知函数f(x)＝?给出下列两个命题： 2

?m－x，x≥0，?

1

命题p：若m＝，则f(f(－1))＝0；

4

命题q：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解． 那么，下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)

2

(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p：?x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－x>0，则下列叙述

2正确的是( )

2

A．綈p：?x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－x≤0

22

B．綈p：?x0∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－x<0 22

C．綈p：?x0∈(－∞，1]，log3(x＋2)－x≤0

2D．綈p是假命题 答案 (1)C (2)D

1?1x

解析 (1) 若m＝，则f(f(－1))＝f ?＝0，故命题p为真命题．当x<0时，f(x)＝2>0；当x≥02??4时，若m<0，f(x)＝m－x2<0.故?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0无解，从而命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.

22

(2)綈p：?x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－x≤0，又函数f(x)＝log3(x＋2)－x在(1，＋∞)上是增

22

函数，所以f(x)>f(1)＝0，故p是真命题，即綈p是假命题．故选D.

思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．

(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．

跟踪演练3 (1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p：若函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0；命题q：?m∈(0，＋∞)，关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧q；④(綈p)∨(綈q)中，为真命题的是( ) A．②③ B．②④ C．③④ D．①④

(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“?x0∈R，使得x20＋(1－a)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为_________． 答案 (1)D (2)[－1,3]

解析 (1) 因为f(－x)＝f(x)，所以1＋|a＋1|＝1＋|a－1|，解得a＝0，故命题p为真命题；又因为当Δ＝4－4m≥0，即m≤1时，方程有解，所以q为假命题． 所以p∨q与(綈p)∨(綈q)为真命题，故选D. (2)由题设可得(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3.

真题体验

1．(2017·北京改编)若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝_________. 答案 {x|－2

解析 ∵A＝{x|－23}， ∴A∩B＝{x|－2

ππ1

θ－?<”是“sin θ<”的__________条件．(填“充分2．(2017·天津改编)设θ∈R，则“??12?122不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 ππ

θ－?<， 解析 ∵??12?12

ππππ∴－<θ－<，即0＜θ＜.

1212126π1

显然当0＜θ＜时，sin θ＜成立．

62

1π

但当sin θ＜时，由周期函数的性质知，0＜θ＜不一定成立．

26π1

故0＜θ＜是sin θ＜的充分不必要条件，

62

ππ1

θ－?<”是“sin θ<”的充分不必要条件． 即“??12?122

3．(2017·山东改编)已知命题p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2

①p∧q； ②p∧(綈q)； ③(綈p)∧q； ④(綈p)∧(綈q)． 答案 ②

解析 ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1＜0，∴x2－x＋1＞0恒成立， ∴p为真命题，綈p为假命题．

∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2＜(－2)2，但－1＞－2， ∴q为假命题，綈q为真命题．

根据真值表可知，p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题． 4．(2016·浙江改编)命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是____________． 答案 ?x0∈R，?n∈N*，使得n＜x20

解析 原命题是全称命题，条件为?x∈R，结论为?n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题(存在性命题)，条件中改量词，并否定结论． 押题预测

1．若集合A＝{x|1≤2x≤8}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B等于( ) A．(2,3] B．[2,3] C．(－∞，0)∪(0,2] D．(－∞，－1)∪[0,3]

押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 A

解析 A＝[0,3]．又log2(x2－x)>log22，即x2－x>2，

解得x<－1或x>2，所以B＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 所以A∩B＝(2,3]．

3

2．已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )

x＋1A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]

押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A

－x＋2解析 由<1，可得－1＝<0，

x＋1x＋1x＋1

3

3

所以x<－1或x>2.

3

因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.

x＋13．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )

ππ0，?上的单调递增区间是?0，?； ①函数y＝sin 2x＋cos 2x在x∈??2??8?

a1b1②a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x＋b1>0}，B＝{x|a2x＋b2>0}，则“＝”是

a2b2“A＝B”的必要不充分条件；

③若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；

2

④命题“?x0∈R，x20＋x0＋1<0”的否定为“?x∈R，x＋x＋1<0”．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题． 答案 C

π

2x＋?， 解析 ①y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?4??

πππ3ππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

24288ππ0，?，因此函数的单调递增区间是?0，?； 又x∈??2??8?a1b1②充分性不成立，如a1＝1，b1＝1，a2＝－1，b2＝－1，满足＝，但A＝{x|x＋1>0}＝

a2b2(－1，＋∞)，B＝{x|－x－1>0}＝(－∞，－1)，A≠B；