除法中的巧算

除法中的巧算

（一）学习方法指导

我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：a?b??a?n???b?n? 或 ??a?n???b?n? 如：12?3??12?2???3?2??24?6?4 或 12?6??12?2???6?2??6?3?2

例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）825?25 （2）47700?900

分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。 （1）825?25

?n?0?

??825?4???25?4? ?3300?100

?33 想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。 （2）47700?900

??47700?100???900?100? ?477?9

?53 看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。 一般公式：?a?b??c?a?c?b?c ?a?b??c?a?c?b?c 如：?12?6??2?12?2?6?2?6?3?9 ?12?6??2?12?2?6?2?6?3?3 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。 例2. 用简便方法计算。 （1）?250?165??5

- 1 -

（2）?702?213?414??3

分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。

（1）?250?165??5

（2）?702?213?414??3

?250?5?165?5 ?50?33

?83

?702?3?213?3?414?3?234?71?138 ?25 除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质： （1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。 一般有：a?b?c?a?c?b 如：12?3?2?12?2?3 （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。 一般有：a?b?c?a?c?b 或?b?c?a 如：12?6?2?12?2?6?36 或：12?6?2?6?2?12?36 例3. 计算下面各题。 （1）525?7?5 （2）128?5?8

分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。 （1）525?7?5 （2）128?5?8

?525?5?7 ?105?7

?15?128?8?5

?16?5?80

在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质： 1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。 一般公式：a??b?c??a?b?c 如：12??6?2??12?6?2?1 例5. 简便计算下面各题。 （1）756??7?9?

（2）1260?7?9

分析：利用以上公式计算，发现（1）被除数÷两个数的积，可以用下面公式计算： （1）756??7?9?

（2）1260?7?9

- 2 -

?756?7?9 ?108?9

?1260??7?9??1260?63?20

?12 2. 一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。 一般的有：a??b?c??a?b?c 如：12??6?2??12?6?2 例6. 简便计算。 （1）720?12?4 （2）125??8?2?

分析：以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。 （1）720?12?4

（2）125??8?2?

?720??12?4? ?720?3

?2160?125?8?2?1000?2 ?500 3. 一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。 一般有：a??b?c??a?b?c 如：12??6?2??12?6?2?4 例7. 简便计算下面各题。 （1）216?24?6 （2）875000??1000?8?

分析：这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。 （1）216?24?6

（2）875000??1000?8?

?216??24?6? ?216?4

?54?875000?1000?8?875?8 ?7000 以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。但要注意：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。如：

- 3 -

324??9?7?

324??9?7?

?324?63?5??9?324?9?7

?36?7?5??1

例8. 巧算下面各题。 （1）1326?39 （3）248?68?17?248?248?48 （2）520?125 （4）999?99?9

分析：以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。 （1）1326?39

?1326??13?3?

?1326?13?3?102?3?34

这题我们将39分解为39?13?3，然后按性质去做。 （2）520?125

?520??1000?8??520?1000?8 ?520?8?1000

?65?1000?65000 此题将125转化为1000?8?125 （3）248?68?17?248?248?48

?248??68?17?48?

?248?99??????这一步将99转化为(100?1)

?248??100?1? ?248?100?248

?24552 此题直接利用乘法分配律计算就可以。 （4）999?99?9 ??1000?1??99?9

??99000?99??9?98901??10?1??989010?98901?890109- 4 -