中学数学解题研究教学大纲（本科）

《中学数学解题研究》教学大纲（本科）

说 明

《中学数学解题研究》教学大纲适用于我院数学与应用数学专业本科。 开设的目的是使学员提高解题的能力，了解常用的解题方法，以适应中学数学教学和数学竞赛的需要。由于不少数学题都是按定势思维求解，因此消除定势思维的负迁移作用，对数学教师是非常重要的。在本课程的教学中，应着重培养思维品质的灵活性与创造性和思维方法的多样性。为此本课程区别于通常的教材教法，而着重于研究适用面较宽的各种解题方法，也涉及数学竞赛中一些特殊的方法。其目的是使学员有较高的解题技巧和较宽的解题知识。

教 学 内 容

1、 概论

⑴、 解题的四个步骤：

①、 弄清题意

②、 拟定解题方案 ③、 实现解题方案 ④、 解题后的回顾 ⑵、 顺推与反推

①、 顺推法 ②、 倒推法

2、 尝试与归纳

⑴、 尝试探索法 ⑵、 穷举法 ⑶、 递推法 ⑷、 数学归纳法 3、 类比与联想

⑴、 类比法 ⑵、 联想 4、 反证法 5、集合法

⑴、 交集、并集法 ⑵、 容斥原理法 ⑶、 抽屉原理法 6、 换元法

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7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、

降维法 化归法 奇偶分析法 同余法 无穷递降法 排序原理 复数方法 凸包原理

二、 教学目的

1、 概论

⑴、 解题的四个步骤

①、 弄清题意：通过细微的观察弄清已知量、已知数等已知

条件，弄清未知量和题目的要求，必要时会引入适当符号，把已知问题典型化。

②、 拟定解题方案：在弄清问题的基础上，会回忆有关的知

识，运用有关的方法，在已知和未知之间架起一座桥梁，拟定出解题的思路和途径。

③、 实现解题方案：用简明的文字，标准的数学语言，将拟

定的解题方案流畅地书写出来。

④、 回顾：在解题之后，会检验解题方案的正确性，并进一

步考虑能否推广题中的结论，能否找出更好的解法。

⑵、 顺推与反推

①、 顺推法：了解什么是顺推法，对常见的数学问题会正确

使用自条件推到结论的顺推法。

②、 倒推法：了解什么是倒推法，对一些数学问题能正确地

使用倒推法的格式解题。

2、 尝试与归纳

⑴、 尝试探索法：了解什么是尝试探索法，掌握使用尝试法的要

点，会用尝试法解有关的数学问题。

⑵、 穷举法（枚举归纳法）：了解什么是穷举法，使用穷举法会

有选择地分类列举，做到不重不漏。

⑶、 递推法：了解什么叫做递推法，会根据已知条件建立递推关

系，再由递推关系解决数学问题。

⑷、 数学归纳法：了解数学归纳法的公理，理解数学归纳法的两

个步骤的必要性。会使用数学归纳法证明与自然数有关的命题。

3、 类比与联想

⑴、 类比：了解什么是类比，会使用类比法探讨新的数学结论。 ⑵、 联想：了解联想是什么样的思考方法，逐步掌握联想的思考

方法。

4、 反证法：了解反证法的逻辑基础，会正确使用反证法证明数学命

题。

5、 集合方法

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⑴、 交集、并集法：掌握集合的基本运算和性质，会使用交集和

并集的理论解决有关的数学问题。

⑵、 容斥原理法：了解什么是逐步淘汰和容斥原理，会用容斥原

理解决中学数学和数学竞赛中的一些问题。

⑶、 抽屉原理法：了解抽屉原理中的三个定理，会使用抽屉原理

解决中学教学中有关的问题和数学竞赛中一些简单的问题（如会面问题，染色问题）。

6、 换元法：了解什么是换元法，会用换元法解方程、解不等式。 7、 降维法：了解降维法的基本思想，学会处理高维问题低维化的方

法，解决立体几何中的一些问题。

8、 化归法：树立数学问题可在各分支间相互转化的思想，学会把复

杂问题化为简单问题的处理方法。

9、 奇偶分析法：会运用奇偶数的性质解常见的数学竞赛题。 10、 同余法：会运用同余的基本性质解常见的数学竞赛题。 11、 无穷递降法：了解无穷递降过程法及其变形—最小元素法，会使

用无穷递降法解常见的数学竞赛题。

12、 排序原理：掌握排序不等式的证明，会用排序原理证明不等式和

解决有关的实际问题。

13、 复数方法：会使用复数方法解决平面几何及有关的数学问题。 14、 凸包原理：掌握凸集、凸包的定义及其性质，会使用凸包解一些

数学竞赛题。

教 材 与 教 参

教材：戎士奎 《中学数学解题研究讲义》 1993 教参：

1、 卢正勇 《数学解题思路》 福建教育出版社 1987 2、 樊恺 《数学解题方法论》 杭州大学出版社 1991

3、 冷岗松 《高中数学竞赛解题方法研究》清华大学出版社

1993

4、 郁.勃罗夫金，斯.斯特拉谢维奇

《波兰数学竞赛题解》 知识出版社 1982

5、L.C.拉松 《通过问题学解题》 安徽教育处版社 1986 6、G.波利亚 《怎样解题》 科学出版社 1982 7、G.波利亚 《数学的发现》 科学出版社 1982 8、G.波利亚 《数学与猜想》 科学出版社 1984 9、南山 《柯西不等式与排序不等式》

上海教育出版社 1996

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课 时 安 排

（共72课时，每周4课时）

1、概论 8课时 2、尝试与归纳 8课时 3、类比与联想 6课时 4、反证法 4课时 5、集合方法 106、换元法 27、降维法 48、化归法 49、奇偶分析法 210、同余法 411、无穷递降法12、排序原理 613、复数方法 414、凸包原理 6

课时 课时 课时 课时 课时 课时 课时 课时 课时 课时 撰写人：戎士奎4

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