近世代数杨子胥第二版题解 - 11111

例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．

很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式． 三、习题2．1解答 1.略 2.

3.

4.

5.

6.

§2. 2 群中元素的阶

一、主要内容

1．群中元素的阶的定义及例子．周期群、无扭群与混合群的定义及例子．特别，有限群必为周期群，但反之不成立．

2．在群中若a＝n，则

4．若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因子． 二、释疑解难

在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶a与b决定阶ab，这就是教材中朗定理4：

4．一个群中是否有最大阶元?

有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元．无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数加群)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限周期群)，则可能无最大阶元，如教材中的例4：

下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子．

5．利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一．例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群与混合群．而在周期群中又可分出p—群p是素数)，从而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3. 9知，每个有限交换群(一种特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群的直积，从而也可见研究p—群的重要意义． 三、习题2．2解答 1.

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4.

5.

推回去即得． 6.