2020高考数学大一轮复习第八章立体几何3第3讲空间点直线平面之间的位置关系练习理含解析

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

[基础题组练]

1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( ) A．4个 C．2个

B．3个 D．1个

解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面． 2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和

BD不相交，则甲是乙成立的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A.若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

3．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

4．如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )

A．A，M，O三点共线 C．A，M，C，O不共面

解析：选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC， 所以A1，C1，C，A四点共面，

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B．A，M，O，A1不共面 D．B，B1，O，M共面

所以A1C?平面ACC1A1， 因为M∈A1C， 所以M∈平面ACC1A1. 又M∈平面AB1D1，

所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上． 所以A，M，O三点共线．

5．(2019·成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为( )

A.3 C.6 3

B．1 D.2 2

解析：选C.法一：如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB，则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN＝2，PB＝5，BN＝3，所以PN＋BN＝PB，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝＝

2

2

2

PNBN23

＝

6

，故选C. 3

法二：以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，→则N(0，0，0)，A1(0，－1，2)，B(3，0，0)，M(3，0，1)，所以NB＝→

(3，0，0)，A1M＝(3，1，－1)，设直线A1M与BN所成的角为θ，则cos →→|NB·A1M|31510→→

θ＝|cos〈NB，A1M〉|＝＝＝，则sin θ＝，

→→553×5|NB|·|A1M|tan θ＝

6

. 3

6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝是________．

①EF与GH平行； ②EF与GH异面；

③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； ④EF与GH的交点M一定在直线AC上．

解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，

- 2 -

CFCG2

＝，则下列说法正确的

CBCD3

H四点共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交

点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面

1223

ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．

答案：④

7．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题： ①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°； ③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°. 其中正确的是________(填序号)．

解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)． 对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；

对于②，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；

对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；

对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△

BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．

答案：①②

8．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与

BC1所成角的余弦值为________．

解析：如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱

ABCD-A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为

异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝

5＋2－322

1，D1C1＝2，所以B1D1＝1＋2－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos∠B1AD1＝＝

2×5×210. 5答案：

10 5

9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

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(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

因为AB1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1. 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°.

10.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已π

知∠BAC＝，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：

2

(1)三棱锥P-ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 1

解：(1)S△ABC＝×2×23＝23，

2

1143

三棱锥P-ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×23×2＝.

333(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．

2＋2－23

在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，cos∠ADE＝＝.

2×2×243

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

4

[综合题组练]

1．(应用型)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面

2

2

B1EF交棱AD于点P，则PE＝( )

A.

15 63 2

B.23

313 6

C.D.

解析：选D.过点C1作C1G∥B1F，交直线CD于点G，过点E作HQ∥C1G，

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