解析几何-历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案

2016B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的方程为x2?y2?1．求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点?a,0?任意作两条互相垂直的直线l1与l2，若l1与双曲线C交于

P,Q两点，l2与C交于R,S两点，则总有PQ?RS成立．

★解析：过点?a,0?作两条互相垂直的直线l1:x?a与l2:y?0.

易知，l1与C交于点P0a,a2?1,Q0a,?a2?1（注意这里a?1），l2与C交于点

????R0?1,0?,S0??1,0?,由条件知2a2?1?PQ00?R0S0?2，解得a?2.

这意味着符合条件的a只可能为2.

下面验证a?2符合条件． 事实上，当l1,l2中有某条直线斜率不存在时，则可设l1:x?a,l2:y?0，就是前面所讨论的l1,l2的情况，这时有PQ?RS.若l1,l2的斜率都存在，不妨设

1x?2?k?0?, k注意这里k??1（否则l1将与C的渐近线平行，从而l1与C只有一个交点）．

l1:y?kx?2,l2:y??????联立l1与C的方程知，x?k22?x?2?2?1?0,即

?1?k?x22?22k2x?2k2?1?0,

这是一个二次方程式，其判别式为??4k2?4?0．故l1与C有两个不同的交点P,Q．同样，l2与C也有两个不同的交点R,S.由弦长公式知，

PQ?1?k?24k2?41?k21?k2?2?.

1?k2?21???k?k2?11?22.于是PQ?RS. 用?代替k，同理可得RS?2??2k?1k1???k?综上所述，a?2为符合条件的值．