东北三省三校2019届高三第一次模拟考试数学试题试卷（理）（解析版）

K12高考数学模拟 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附:P 0.050 3.841

近视 不近视 0.010 6.635 0.001 10.828 解：（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则

故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为. （2）根据以上数据得到列联表： 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 所以

的观测值

近视 40 60 不近视 60 40 ，

故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 19.如图，在三棱锥点，点在线段

上，且

中，

与，为棱

都为等边三角形，且侧面上一点.

与底面

互相垂直，为

的中

（1）试确定点的位置，使得平面； 的余弦值.

（2）在（1）的条件下，求二面角解：（1）在

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中，延长交于点，

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,

为

是等边三角形

的重心 平面

,即点为线段

上靠近点的三等分点 ，

，

，交线为

，

,

平面

，

（2）等边中，

如图以为原点建立空间直角坐标系

点在平面设

,则

上，所以二面角

，

与二面角

为相同二面角.

设平面的法向量，则

即又则

平面,

，取，

，则

,

又二面角20.已知椭圆：的斜率分别为（1）当（2）已知点

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为钝二面角，所以余弦值为

的左、右两个顶点分别为

，若动点与

的连线斜率分别为

.

，点为椭圆上异于，且

的一个动点，设直线，记动点的轨迹为曲线.

时，求曲线的方程；

，直线

与

分别与曲线交于

两点，设

的面积为，

的面积为，

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若，求的取值范围.

，则

，则

，

解：（1）设因为

所以整理得 所以，当（2）设直线

，

.

.

时，曲线的方程为

. 由题意知，

，直线

的方程为：

，消去，得，消去，得

，

的方程为：.

由（Ⅰ）知，曲线的方程为联立 联立

，得 ，得

设又

的取值范围为21.已知（1）当（2）当解：（1）当 ，

则在上递增

（为自然对数的底数），时，求函数时，关于的方程

时

，

的极小值；

.

有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

令

解得

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（2）设令

，，设

由

得，

，

即①当此时②当

在

在

单调递增，

，

时，

时，关于的方程

时，

，又

故故当在又且

,

故

在

单调递增，故

.

故当

时，的方程

时

的方程

时，内，关于的方程

时，

，

单调递增，

，令,故，故

在

，当，

时，

，时，，

递减 极小值 递增 ，

，

，

单调递增，，即在当，即

，在单调递增,又，

有且只有一个实数解.

单调递减，又

，

有一个实数解.

，

单调递增，又，又

，由零点存在定理可知，

有两个解为和

综上所述：当22.在直角坐标系

有且只有一个实数解 （为参数），直线的方程为

，以坐标原

中，曲线的参数方程为

点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）曲线与直线交于

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两点，若，求的值.

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解：（1）由题，曲线的参数方程为化为普通方程为：

所以曲线C的极坐标方程：

（为参数），

（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，

然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：

，

所以故

23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）若不等式

对

.

恒成立，求实数的取值范围；

满足

，求恒成立，

的最小值.

解得

（2）设实数为（1）中的最大值，若实数解：（1）因为函数解得

；

，即

（2）由第一问可知由柯西不等式可得：

化简：即当且紧当：故最小值为

时取等号，

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