高等数学知识点第一章函数

第一章 函数

一、实数集合

关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。记作U（x0，a）。称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。

A、 点x0的空心邻域即（x0-a， x0+a）\\｛x0｝或U（x0，a） B、 点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0） C、 点x0的右邻域[x0，x0+a） 空心右邻域（x0，x0+a） 二、函数关系

A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作f B、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论

C、符号函数 y=sgnx ① x＞0时 y=1 ② x=0时y=0 ③ x＜0时 y=-1 D、取整函数 y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2…..

[x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分 [2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3 取整函数的图像

E、函数的自然定义域：即定义域

一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。 三、函数的基本特性

A、单调性 证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关系。由此函数单调性得证。

B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则则称无界。（判断函数是否有界一般为求解函数的值域） ①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥M C、奇偶性 奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x） 偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x） 非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数

判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函

数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断

D、周期性 f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f

（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。满足上式的最小正数T0为f（x）的周期

四、复合函数与反函数

A、复合函数：y=f[g（x）]， y=f（u），u∈D（f），y∈Z（f）

u=g（x），x∈D（g），u∈Z（g）

y为因变量，x为自变量，u为中间变量。前提条件 D（f）∩Z（g）≠?

eg.y=sin2x → y=u2 u=x2

y=sinx2 → y=sinu u= x2

y=earcsinx2?1 → y=eu u=arcsinv v=w w=1+x2

B、反函数 x=f-1（y） y∈Z（f） 即反函数的定义域为直接函数的值域，值域为直接函数的定义域。

※不是所有的函数都存在反函数 ※原函数（即直接函数）与反函数关于y=x对称 求某函数的反函数时①用y表示出x并整理②用x代替y，用y代替x eg.y=

2x?1x?1y?1的反函数 ①用y表示x，整理得 x= ②用x代替y，用y代替x得y= x?12?x2?y五、初等函数

A、基本概念：基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数…

初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合，并在其定义

域内有一个统一的解析表达式

B、基本初等函数 a、常函数y=c

b、幂函数y=xa （a为常数，且a≠0） 恒过（1,1） 定义域 值域 单调性a＞0时 在（0，+∞）增，在(-∞，0)减 a＜0时 在（0，+∞）减，在(-∞，0)增

c、指数函数y=ax （a＞0，且a≠1）恒过（0,1）定义域 值域 单调性a∈（0,1）减 a∈（1，+∞）增 d、对数函数y=㏒ax（a＞0，a≠1）恒过（1,0）

单调性a∈（0,1）减 a∈（1，+∞）增 ※ y=㏒ax与y=ax互为反函数，关于y=x对称 ※ 关于对数函数的重要恒等式

e、三角函数

1（余割） sinx1 y=cosx（余弦） y=secx=（正割）

cosx1 y=tanx（正切） y=cotx=（余切）

tanx y=sinx（正弦） y=cscx=

sin2x+cos2x=1 1+tan2x=sec2x 1+cot2x=csc2x

f、反三角函数：没什么题，看看书上的图像、定义域、值域就行了吧~

C、简单函数：基本初等函数经过有限次四则运算形成，简单函数一般是相对复合函数而言 D、复合函数与幂指函数

E、初等函数：基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合并且在其定义域内具有统一的解析表达式

六、简单经济函数及简单函数关系的建立。

没啥可以出题的地方，第一章习题课的时候老师也没怎么说~