信号与系统课后答案

所以 f?n???n?1?U?n?

6.29 离散时间LTI系统的框图如图6-7所示，求

（1）系统函数H?z?；（2）系统单位样值响应h?n?；（3）系统的单位阶跃响应g?n?。

D D D -2 3 f(Σ y(

解：（1）由图可知 y?n??3f?n?1??2f?n?2??f?n?3?，两边取z变换，有

Y?z???3z?1?2z?2?z?3?F?z?，因此系统函数为H?z??Y?z??3z?1?2z?2?z?3 F?z?（2）根据系统函数可得系统的单位样值响应为： h?n??3??n?1??2??n?2????n?3? （3）设g?n??G?z?，则G?z??H?z?zz?3z?1?2z?2?z?3?因此，系统的阶?z?1z?1跃响应为 g?n??3U?n?1??2U?n?2??U?n?3?

6.43 已知离散LTI因果系统的零极点如图6-13所示，且系统的H????2，求 （1）系统函数H?z?；（2）系统单位样值响应h?n?；（3）系统的差分方程； （4）已知激励为f?n?时，系统的零状态响应为y?n??U?n?，求f?n?。

jIm[-○ --○ 0 Re[z

解：（1）根据零极点图可将系统函数设为H?z??Az?z?2?，由 4 可得A = 4，故

?z?1??z?3?H?z??4z?z?2?4z?z?2?2z2z;（2）H?z??，所以??z?1z?3z?1z?3z?1z?3????????nn?14z?z?2?4?8zh?n???2??1??2??3??U?n?;（3）因为H?z??，所??1?2???z?1??z?3?1?4z?3z以差分方程为;y?n??4y?n?1??3y?n?2??4f?n??8f?n?1?

33

（4）设y?n??Y?z?，则Y?z??zz?1，因为Y?z??H?z?F?z?，因此 F?z??Y?z?z1?z?1??z?3?H?z??z?144z?z?2???z,作部分分式展开，有z?1??z?3???2??z?1?1F?z??4?z?1??z?3??z?2??z?1???3/81z2zz?24z?2?3z?1，所以

f?n???3?21n?1?21n?1?8??n????3?24??2???U?n??4??n????3?12??2???U?n?1?

6.55 已知一节离散系统的系统框图如图6-18所示，求

（1）系统的差分方程;（2）若系统的激励为f?n??U?n??cos??n???6???cos?n??，求稳态响应。

1/5 f(nΣ y(n4/5 z?

解：（1）由框图易得系统差分方程如下:y?n??45y?n?1??15f?n? H?ej0??1(2)系统频响为H?ej???0.2?j??1?0.8e?j?，可求得H?e6???0.2?j52.5?1?0.8e?j??0.396e6H?ej???0.211?0.8e?j??9因此系统的稳态响应为：yn?ss?n??U?n??0.396cos???6?52.5?????19cosn?

6.58 已知某离散LTI反馈系统框图如图6-20所示，其中

H1?z??22?z?1,H2?z??1?Kz?1，求使得系统稳定的K的取值范围。 34

? f(Σ x(H1?z? y(-1 H2?z?

解：如图设加法器输出为x（t），根据框图可得如下方程：

???X?z??F?z??H2?z?Y?z???Y?z??X?z?H，解此方程可得系统函数为 1?z??z??Y?z?H1?z?z2Hz2F?z??1?H??1?z?H2?z?4z2??2K?1?z4z??2K?1?，其两个极点为?z?4??z1?0,zK?12?24，因此，当且仅当z2在单位圆内时，系统稳定，由此得到以下不等式：z2K?12?1，即

4?1，解得 ?532?K?2

（注：题中未加以说明的，默认它为因果系统）。

7.9 已知连续时间LTI系统的信号流图如图7-30所示，求其系统函数H?s?。

-1 -1 ?1 F(s s?1s?1 11 Y(-

L1??10s?3解：流图中的环路及其增益为

L2??10s?2L3??s?1；没有两两不接触的环路；前向通路及其增益为

L4??10s?2g1?10s?3g；特征行列式为：??1??L1?L2?L?133?L4??1?s?20s?2?10s?

2?10s?2各前向通路的余子式为?1?1,?2?1

gk?23因此根据梅森公式，得H?s?k???K?10s?10s?10s?10?1?s?1?20s?2?10s?3?s3?s2?20s?10

35

7.15 已知连续时间LTI系统的系统函数为 H?s??式、串联形式及并联形式的信号流图。

6s?15，试分别画出其直接形

s3?9s2?18s6s?156s?2?15s?3解：直接形式：H?s??s3?9s2?18s?1?9s?1?18s?2 6 1 1?1 1F(s? ss?1 -Y(-1串联形式：H?s??6s?1516ss3?9s2?18s?s??15s?3?1s?6，流图如下6 1 ?1 1s?1 1 F(s?1sY(-3 -6 并联形式：H?s??6s?155/61/3?7/6s3?9s2?18s?s?s?3?s?6，得并联形式如下：s?11 5/6 1 s?1 1/3 Y(

F(s1 -3 s?1 -7/-6 7.28 已知离散时间LTI系统的差分方程为

y?n??3y?n?1??7y?n?2??5y?n?3??3f?n??5f?n接形式、串联形式及并联形式的信号流图。解：先求出系统函数。3?5z?1H?z???10z?2为：1?3z?1?7z?2?5z?3。直接形式：

??10f?n由差分方程可得系统函数

2?，

试画出其直36

?1?