信号与系统课后答案

1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。其中X（0）为系统的初始状态。

2ft（2）y?t??e?? （5）y?t??f?t?cos2t （8）y?t??f?2t? 2ft（2）y?t??e??解：① 线性：设 f1?t??y1?t?,-

f2?t??y2?t?，则

y1?t??e2f1?t?,y2?t??e2f2?t?那么

2??a1f1?t??a2f2?t???a1f1?t??a2f2?t??y?t??e?e2a1f1?t?e2a2f2?t?，显然，

y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以是非线性的。

② 时不变性：设f1?t??y1?t?,则 y1?t??e设f1?t?t0??y2?t?,则y2?t??e2f1?t?t0?2f1?t?,y1?t?t0??e2f1?t?t0?

?y1?t?t0?，所以是时不变的。

2f?t1?③ 因果性：因为对任意时刻 t1，y?t1??e，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统

是因果的。（5）y?t??f?t?cos2t 解：① 线性：设 f1?t??y1?t?,则 y1?t??f1?t?cos2t,f2?t??y2?t?，

y2?t??f2?t?cos2t；那么

a1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?t??a2f2?t???cos2t?a1f1?t?cos2t?a2f2?t?cos2t,

显然y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系统是线性的。 ② 时不变性：f1?t??y1?t?,y1?t??f1?t?cos2t,y1?t?t0??f1?t?t0?cos2?t?t0?

设f1?t?t0??y2?t?,则y2?t??f1?t?t0?cos2t?y1?t?t0?，所以是时变的。 ③ 因果性：因为对任意时刻 t1，y?t1??f?t1?cos2t1，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。（8）y?t??f?2t? 解：① 线性：设 f1?t??y1?t?,则 y1?t??f1?2t?,f2?t??y2?t?，

y2?t??f2?2t?那么

a1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?2t??a2f2?2t????a1f1?2t??a2f2?2t?,

显然y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系统是线性的。 ② 时不变性： 设f1?t??y1?t?,则 y1?t??f1?2t?,?y1?t?t0??f1??2?t?t0???

设f1?t?t0??y2?t?,则y2?t??f1?2t?t0??y1?t?t0?，所以系统是时变的。

1

③ 因果性：因为对任意时刻 t1，y?t1??f?2t1?，当 t1?0时，t1?2t1，即输出由未来时刻的输入决定，所以系统是非因果的。

2.16 利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式： （2）f?t??d?3t?e??t??? dt?

（8）f?t??????2?t3?4???1?t?dt（10）f?t????e????t?????t???dt

?t （14）f?t???123e?t???t?n?dt

????2n???解：（2）f?t??ddt??e0??t???????t?；（8）因为 ??1?t????t?1?， 所以 f?t?????t3?4???1?t?dt?????2??2?t3?4???t?1?dt?2?t3?4?t?1?10

（10）f?t????e?t????t?????t???dt?e?t???t?0??e?t??2

t?0?（14）冲激串

?n? 中只有 两个：δ（t）和δ（t+1）落在积分区间

n???t???[-3/2 1/2]之中，因此

1?t??1f?t???2??t?n?dt??2?3e?3e?t????t?1????t???dt?e?1?1 2n???22.25 已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。

（1）y???t??y?t??f??t?,y?0???2,y??0???0 （3）y???t??3y??t??2y?t??f?t?,y?0???1,y??0???0

解：（1）特征方程为：?2?1?0，特征根为 ?1?i,?2??i，因此，yx（t）为：

y?Cit?C1?C2?2x?t?1e?C2e?itt?0，代入初始条件并求解，有：??iC?C1?C21?iC2?0所以yit?itx?t??e?e?2costt?0；（3）特征方程为：?2?3??2?0，特征根为：

?1??1,??t2??2，因此，yx（t）为 ：yx?t??C1e?C?2t2et?0 ；代入初始条件并求

解，有：???C1?C2?1??C0???C1?2，所以?Cy??2e?t?e?2tx?t?0

?1?2C2?2??1t2.26 系统框图如图2-58所示，试列出系统的微分方程，求单位冲激响应。

，

2

?1f (t) ?y???t? ?-1 ?y (t)

解：（1）如图，加法器的输出方程为：y???t??f?t??y??t?，整理后即得系统的微分方程为：y???t??y??t??f?t?；（2）求因此，h（t）为：h?t???C?t1e代入，得：??C1e?tU?t??C1??t??比较两边冲激函数的系数，得：2.33 已知信号如图2-61所示，试分别画出f1(t1 -0 2 t

f1(t1 0 1 t

f1(t2 -0 1 t

t）；特征方程为?2???0，特征根为：C2?U?t?，微分方程中令f（t）=δ（C1?C2????t???????C?t1eU?t???C1C1?C2?0?C1C????1，所以 h2?1?C?t2?1f1?t?*f2?t?的波形。

f2(t

(1

(1-0 1 t

a）

f2(t1 0 t （b）

1 f2(t-0 1 t -1 c）

?1??1,?2?0，

t），并将h（t）C2???t??????t??1?e?t?U?t?

3

h（???

???????（（f1(f2(2 1 sint[U(t)-U1 0 1 t 0 t （e）

a）f1?t?*f2?t??f1?t?*????t?1????t?1????f1?t?1??f1?t?1?,f(t) f（t） 1 2（1-e-1） --0 1 3 t 0 t （a

（b）

f1?t?*f2?t??f1??t?*f??1?2?t????2??t??2??t?1???*??t??0ed??U?t?2?1?e?t?U?t??2?1?e??t?1??U?t?1??t?0

??0?2?1?e?t0?t?1???2?e?1?e?tt?1b）

ff??1?1?t?*f2?t??f1??t?*2?t????2??t?1??2??t?1???*f??1?2?t?

?2f??1?2?t?1??2f??1?2?t?1?，而 f??1?2?t? 的波形是一个等腰三角形，

f(t) 2 -0 2 t （c）

4

解：（故波形如下：

（b）

?

波形见（（c） 因此 卷积的波形为：