2018-2019学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．同时考查了勾股定理．

21．（5分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售．经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，将销售价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】536：二次函数的应用．

【分析】根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当x＝14时，所获得的利润最大．

【解答】解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元， 则y＝[100﹣10（x﹣10）]?（x﹣8） ＝﹣10x2+280x﹣1600 ＝﹣10（x﹣14）2+360

所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．

22．（5分）已知，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是交于点F，求证：∠AED＝∠CEF．

上的一点，AE，DC的延长线相

【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质．

【专题】14：证明题．

【分析】连结AD，如图，根据垂径定理由CD⊥AB得到弧AC＝弧AD，再根据圆周角

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定理得∠ADC＝∠AED，然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF＝∠ADC，于是利用等量代换即可得到结论．

【解答】证明：连结AD，如图， ∵CD⊥AB， ∴弧AC＝弧AD， ∴∠ADC＝∠AED， ∵∠CEF＝∠ADC， ∴∠AED＝∠CEF．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质． 23．（6分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，

≈1.732）

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE＝50就能求得河宽．

【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米， 在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x

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在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝∴

x＝x+50解之得：x＝25

CE＝x，

+25≈68.30．

答：河宽为68.30米．

【点评】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答．

24．（6分）已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB＝4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求证：BC＝2CD．

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；552：三角形．

【分析】作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到

＝

，加上AM＝MC，则AE＝EF，由于AB＝4AE，所以EF＝AB，BF

＝

＝2，所以BC＝2CD；

＝AB，则BF＝2EF，然后由CF∥DE得到

【解答】证明：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，

∵ME∥CF， ∴

＝

，

而M为AC边的中点，

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∴AM＝MC， ∴AE＝EF， ∵AB＝4AE，

∴EF＝AB，BF＝AB， ∴BF＝2EF， ∵CF∥DE， ∴

＝

＝2，

∴BC＝2CD；

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．

25．（6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2．

（1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线AB的解析式．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】31：数形结合；41：待定系数法；46：几何变换．

【分析】（1）根据已知条件求出c点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式； （2）根据已知条件求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式． 【解答】解：（1）∵OB＝4，OE＝2， ∴BE＝2+4＝6．

∵CE⊥x轴于点E．tan∠ABO＝∴CE＝3．（1分）

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