2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷含参考解析

∴tan∠HDM=tan∠FDH， ∴

=

=，

∴DM=3a，

∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°﹣∠ABF，∠BDE=45°﹣∠ADE， ∴∠DBF=∠BDE， ∵∠BED=∠F，BD=BD， ∴△BED≌△DFB， ∴BE=FD=3a，

过H作HS⊥BD，垂足为S， ∵tan∠ABH=tan∠ADE=∴设AB=3∴BD=

m，AH=2

=， m，

m，

AB=6m，DH=AD﹣AH=

=

，

∵sin∠ADB=∴HS=m， ∴DS=

=m，

∴BS=BD﹣DS=5m， ∴tan∠BDE=tan∠DBF=

=，

=，

∵∠BDE=∠BRE，∴tanBRE=∵BP=FH=2a， ∴RP=10a，

在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD， ∴△BET≌△HKD， ∴∠BTE=∠KDH， ∴tan∠BTE=tan∠KDH， ∴

=，即PT=3a，

∴TR=RP﹣PT=7a，

∵S△BER﹣S△DHK=， ∴BP?ER﹣HM?DK=，

∴BP?（ER﹣DK）=BP?（ER﹣ET）=， ∴×2a×7a=， 解得：a=（负值舍去）， ∴BP=1，PR=5， 则BR=

=

．

【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

27．（10.00分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣为菱形．

（1）如图1，求点A的坐标；

（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．

x+

与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD

【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可解决问题；

（2）如图2中，连接CE、CF．想办法证明△CEF是等边三角形，AF⊥CF即可解决问题；

（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．想办法证明△APF是等边三角形，AT⊥PB即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，

∵y=﹣x+，

），

∴B（，0），C（0，∴BO=，OC=

，

在Rt△OBC中，BC=∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=7，

∴OA=AB﹣OB=7﹣=， ∴A（﹣，0）．

=7，

（2）如图2中，连接CE、CF．

∵OA=OB，CO⊥AB， ∴AC=BC=7， ∴AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠AOB=60°， ∴∠APB=∠ACB，

∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB， ∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF， ∴△ACR≌△BCF， ∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，

∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴∠CFE=60°，EF=FC， ∵∠AFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°， 在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49， ∴AF2+EF2=49．

（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．

⊥OC于K，PK