2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷含参考解析

24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△

2

ADC=2a=2S△ADE，证△ADE≌△BGE

得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，

从而得出答案．

【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD；

（2）设DE=a，

则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE?DE=?2a?a=a2， ∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a，

则S△ADC=AC?DE=?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中，

∵，

∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a，

∴S△ABE=AE?BE=?（2a）?2a=2a2， S△ACE=CE?BE=?（2a）?2a=2a2， S△BHG=HG?BE=?（a+a）?2a=2a2，

综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．

25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；

（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？

【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；

（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．

【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：

，

解得：

，

答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；

（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180， 解得：x≤35，

答：最多可以购买35个A型放大镜．

【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．

26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在DE，点F在EDF．

（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；

上，连接BE、

上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠

（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；

（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．

【分析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；

（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，根据题意确定出△BEP≌△HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，根据△BER的面积与△DHK的面积的差为，求出a的值，即可确定出BR的长． 【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵∠F=∠A=90°， ∴∠F=∠ABC， ∵DA平分∠EDF， ∴∠ADE=∠ADF，

∵∠ABE=∠ADE， ∴∠ABE=∠ADF，

∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF， ∴∠CBE=∠DHG；

（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M， ∵∠F=90°， ∴HF⊥FD， ∵DA平分∠EDF， ∴HM=FH， ∵FH=BP， ∴HN=BP， ∵KH∥BN， ∴∠DKH=∠DLN， ∴∠ELP=∠DLN， ∴∠DKH=∠ELP， ∵∠BED=∠A=90°， ∴∠BEP+∠LEP=90°， ∵EP⊥BN，

∴∠BPE=∠EPL=90°， ∴∠LEP+∠ELP=90°， ∴∠BEP=∠ELP=∠DKH， ∵HM⊥KD，

∴∠KMH=∠BPE=90°， ∴△BEP≌△HKM， ∴BE=HK；

（3）解：如图3，连接BD， ∵3HF=2DF，BP=FH， ∴设HF=2a，DF=3a， ∴BP=FH=2a，

由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°， ∵∠F=∠A=90°，