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华北电力大学附中2013届高考数学二轮复习专题精品训练：计数原理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
?a?b?6??a?3b??2???2a?11．若变量a,b满足?，n?2a?3b，当n取最小值时，二项式 ?1?x?2?x? 展开式中的常
n数项为( ) A．?80
B．80 C．40 D． ?20
【答案】A
2．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
65A．5 B． 6
5?6?5?4?3?2C．
2
D．6?5?4?3?2
【答案】A
3．若三个连续的两位数满足下列条件：①它们的和仍为两位数；②它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大；则称这样的三个数为“三顶数”，则这样的“三顶数”的组数有（ ）组。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C
(x?22x4．若f(x)?|x?2|?|x?8|的最小值为n，则二项式A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项 【答案】B 5．
C12?C12?C12?C122468)n的展开式中的常数项是( )
的值等于( )
A．211－66 B．211－67 C．211－68 D．211－69 【答案】C
6．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有( )
A．120个 B．480个 C．720个 D．840个 【答案】B
227．用直线y=m和直线y=x将区域x+y?6分成若干块。现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块
只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是( ) A．
(?3,3) B．
(?3,2) C．
(?2,2) D．
(?2,3)
【答案】A
8．设{an}是等差数列，从{a1，a2，a3，··· ，a20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则
这样不同的等差数列最多有( ) A．90个 B．120个 C．160个 D．180个 【答案】D
9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，按要求每人只参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在乙、丙两位的前面，不同的安排方法共有( ) A．30种 B．60种 C．40种 D．20种 【答案】D
10．将4个不同颜色的小球全部放入不同标号的3个盒子中，可以有一个或者多个盒子空着的放法种数为( )
A．96 B．36 C．64 D．81 【答案】D 11．
(1?ax?by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，
则a,b,n的值可能为( ) A．a?2,b??1,n?5 C．a??1,b?2,n?6 【答案】D
12．设a?Z，且0?a?13，若512012B．a??2,b??1,n?6 D．a?1,b?2,n?5
?a能被13整除，则a?( )
A． 0 B． 1 C． 11 D． 12 【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，若有且只有两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，则不同的排法种数共有____________种. 【答案】20
14．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球， 若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有 种。 【答案】186 15．式子C12【答案】
C1365?C126＝ (用组合数表示）．
16．6人排成一排，则甲不站在排头的排法有 种．（用数字作答）．
【答案】600
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在二项式(axm?bxn)12 (a>0，b>0，m，n?0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数
项。
(1）求它是第几项；
a(2）求b的范围。
【答案】（1）设Tr+1=
C1r2?axm?12?r??bxn?rm12?r??nr?C1r2a12?rbrx?为常数项，则有m(12－r)+nr=0
即m(12－r)＋nr=0 所以=4，即它是第5项 (2）因为 第5项是系数最大的项
?C142a8b4?C132a9b3??484575?C12ab?C12ab12?11?1093?12?11?10?984ab?ab?4?3?23?2??a8??5?b?a??b??a???b8??a59485?94
(
13?x2)n18．二项式
x展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.
求：（1）n ； (2）展开式中的所有的有理项。
Tr?1?Cn(r13)n?r(?x2)?(?1)rr12r【答案】 (1)二项式的通项
Cn?4(?1)4rxCnxr?13n?43r
12r依题意，
Cn2
解得 n=6
Tr?1?(?1)r12r(2）由（1）得
C6xr?13(6?4r)，当r=0,3,6时为有理项，
x6故有理项有
T1?1x2,
T4??52x2,
T7?64
19．用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？ 【答案】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有
A53个；
1第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A4种）,十位和百位从余下的数字中选（有A4种），于是有
A4·A4122个；
A4·A4312第三类：4在个位时，与第二类同理，也有由分类加法计数原理知，共有四位偶数：
个．
212A5?A4·A4?A4·A4?1561个．
(2）符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A5个；个位数上的数字是5的五位数有
A4·A4134个．故满足条件的五位数的个数共有
A5?A4·A4?216413个．
(3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共第二类：形如14□□，15□□，共有第三类：形如134□，135□，共有
1A4·A513个；
A2·A4112个；
A2·A3个；
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：
A4·A5?A2·A4?A2·A3?270131211个
n20．已知
p(x)?x，
fn(x)?(1?x)．
，求g(x)的展开式中x的系数；
?(m?1)n?1m?265(1）若g(x)?p(1)f5(x)?p(2)f6(x)?p(3)f7(x)(2）证明：
Cm?2Cm?1?3Cm?2???nCmmmmm?n?1Cm?nm?1 ,(
m,n?N?) ．
【答案】（1）由已知得
g(x)g(x)?(1?x)55?2(1?x)55?3(1?x)7
5C?2C6?3C7的展开式中x的系数为5=76
(2）由（1）知
h(x)?(1?x)Cmm?2Cmm?1?3Cmm?2???nCm?2mm?n?1应当为函数
m?n?1m?2(1?x)m?1m?1?3(1?x)m?2???n(1?x)m?3展开式中x的系数
m?nm又
(1?x)h(x)?(1?x)m?2(1?x)?3(1?x)???n(1?x)m?n 两式相减得
?xh(x)?(1?x)?(1?x)m?1?(1?x)m?2???(1?x)m?n?1?n(1?x)?(1?x)[1?(1?x)]1?(1?x)mmn?n(1?x)m?n
?(1?x)m?n所以所以
xh(x)?(1?x)h(x)2?nx(1?x)2m?n
m?2展开式中xm的系数等于
m?1m?nxh(x)展开式中xCm?nm?1的系数
因为此系数为
m?Cm?n?nCm?2?(m?1)n?1m?2
Cm?nm?1所以
Cm?2Cm?1?3Cm?2???nCmmmm?n?1?(m?1)n?1m?2,(
m,n?N?)
121．已知(1)求n； (2)若
f(x)?(xk?x)n，且正整数n满足
Cn?Cn26，A?{0,1,2,L,n}．
i、j?A，是否存在，当
ji?j时，
Cin?Cjn恒成立？若存在，求出最小的j，若不存在，试说明
理由；
(3)k?A,若f(x)的展开式有且只有6个无理项，求k． 【答案】 (1)由
Cn?Cn26可知n=8.
(2)存在.展开式中最大二项式系数满足条件， (3)又展开式中最大二项式系数为
1C84，∴j=4．
8?r(3)展开式通项为
Tr?1?C8(xk)r8?r·xr=
C8xrk?r，分别令k=1，2，3，?，8，
检验得k=3或4时8?r是k的整数倍的r有且只有三个．故k=3或4
32f(x)?xf1(x)?xf2(x)?xR22． 一个盒子装有七张卡片，上面分别写着七个定义域为的函数：，，3，
f4(x)?cosx，
f5(x)?sinx，
f6(x)?2?x,
f7(x)?x?2。从盒子里任取两张卡片：
(1） 至少有一张卡片上写着奇函数的取法有多少种？（用数字表示）
(2） 两卡片上函数之积为偶函数的取法有多少种？（用数字表示） 【答案】（1）奇函数有： 偶函数有：
f2(x)?x2f1(x)?x3，
f3(x)?x，
f5(x)?sinx
，f4(x)?cosx
，
f7(x)?x?211非奇非偶函数有：
f6(x)?2?x
只一张卡片上写着奇函数的取法有两张卡片均写着奇函数的取法有
C3?C4?122种
C3?3种
至少有一张卡片上写着奇函数的取法有15种 (2）两偶函数之积为偶函数的取法有
2C22?1种
两奇函数之积为偶函数的取法有
f6(x)?2?xC3?3种
与
f7(x)?x?2之积为偶函数，取法是1种
两卡片上函数之积为偶函数的取法有5种
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