不定积分表

???|x?a|?|x?b|11dx??dx(x?a)(x?b)|x?a|?|x?b|(x?a)(x?b)d??111?dx?2????|x?a|?|x?b|?|x?a||x?b|??d?|x?a|dxdx|x?a|?|x?b|??d??|x?b|?dx?2???|x?a|?d??|x?b||x?a|?|x?b|??2d??|x?a|?|x?b||x?a|?|x?b|??2ln?|x?a|?|x?b|?C?

带回上式得证。

x?ax?ab?adx?(x?b)?lnx?bx?b2??b?a?|x?a|?|x?b|??C??2?即为（98）式之所

（98）式的给出，亦可使用还原的方式证明，考虑到不定积分本身具有根号，其干扰

x?aa?bt22tdt?t?x??dx?(a?b)222x?b1?t(1?t)： 运算性太强，考虑强行抹消根号，于是令

对于上式第二项中积分，可令

以三角函数处理，得：

，则得到

，然后

接着是计算式中的诸三角函数，可利用三角恒等式，如果限定了k为锐角，亦可借助直角三角形，我在此选择后者：

最后把

t?x?ax?b带回，即得：

同理对于（99）式换元之后，亦可解之，但鉴于计算复杂，这里不用换元的方法，我依然采用分部积分的方式：

?x?ax?ax?ax?a1b?ab?xdx?(x?K)??(x?K)d?(x?K)??(x?K)dxb?xb?xb?xb?x2(b?x)2x?ax?ab?ax?Kb?x?dxb?x2?(b?x)2x?aK?b?(x?K)其中：

(x?b)x?aa?b1?dxx?b2?(x?a)(b?x)

??1(x?a)(b?x)2b?a11?dx?2?d1b?xd?x?a?2?1?1(b?a)?(x?a)d?x?a??x?ab?a?x?a?2???x?a?x?ad??2arcsin?C??b?a?2b?a??x?a??1????b?a?

带回则完成证明。

根据反三角的计算公式，考虑到根式恒正，因此上式中的反三角亦可写作：

2arcsin?x?ax?ax?ax?ax?a??arcsin?arcsin???arcsin?21???b?a?b?ab?ab?ab?a???2(x?a)(b?x)????arcsin????b?a??

因此写作

??2(x?a)(b?x)?1dx?arcsin??C???a?b(x?a)(b?x)??亦是正确的。亦可通过公式（67）

?dx?ax2?bx?c??12ax?barcsin?Cab2?4ac来计算，得到：

?dxdx2x?(a?b)2x?(a?b)????arcsin?C?arcsin?C22a?b(x?a)(b?x)?x?(a?b)x?ab(a?b)?4ab

通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的： 2d?x?a?2111arcsin????dx?b?a?x?ax?ab?a(x?a)(b?x)??1?2b?ab?a

d?2x?(a?b)?12arcsin????2x?(a?b)2a?bdx?a?b?1?[a?b]?1?ab?x2?ax?bx?1(x?a)(b?x)1?4ab?4x2?4x(a?b)(a?b)22a?b

d?2x?(a?b)?1221arcsin???(a?b)2a?bdx?a?b?(x?a)(b?x)??(a?b)2?4x2?4x(a?b)?(a?b)21?[2x?]a?b1

换言之，我们得到(x?a)(b?x)具有三个我们可能会计算出的原函数：

?2(x?a)(b?x)?2x?(a?b)x?aarcsin??2arcsinarcsin??a?b??以及b?a，a?b

当我们得到该结论之后，对于第（100）式的证明方法就很多了，最简单的就是通过已建立

的公式（68）来完成

对于不定积分公式（100），其推理在（99）之中已经给出。

由公式（68）：

?2ax?bb2?4ac2ax?b2?ax?bx?c??ax?bx?c?arcsin?C4a8a3b2?4ac，得：

2?(x?a)(b?x)dx???x2?(a?b)x?abdx2x?(a?b)(a?b)2?4ac2x?(a?b)2??x?(a?b)x?ab?arcsin?C1248(a?b)?4ab?2x?(a?b)(a?b)22x?(a?b)?(x?a)(b?x)?arcsin?C148a?b??2x?(a?b)(a?b)2x?a???or:(x?a)(b?x)?arcsin?C244b?a???2(x?a)(b?x)?2x?(a?b)(a?b)2?or:(x?a)(b?x)?arcsin??C3???48a?b????

上式所给出三个不定积分的形式，均是正确的。

公式十二 含三角函数的不定积分23式

除了基本初等三角函数之外，本组公式总结更为复杂的三角积分，其中包含了递推关系，凑微分以及分部积分等方法来完成其推理。

x1?sin2x?C24x1(103).?cos2xdx??sin2x?C24(104).?tan2xdx?tanx?x?C(102).?sin2xdx?(105).?cot2xdx??cotx?x?C(106).?sec2xdx?tanx?C(107).?csc2xdx??cotx?C

（102），（103）以降幂公式变形，再以基本初等函数的积分直接积分得到。（104）~（105）实质上就是导数公式的逆，因此我们如果要证明，只需以导数公式指出即可：

sinxcos2x?sin2x22(tanx)'?()'??secx?1?tanxcosxcos2x?tan2xdx?(tanx)'dx?dx?tanx?x?C??????sec2xdx??dx??tan2xdx?tanx?C???

cosx?sin2x?cos2x(cotx)'?()'???csc2x??(1?cot2x)2sinxsinx

?cot2xdx??(cotx)'dx?dx??cotx?x?C??????22cscxdx?dx?cotxdx??cotx?C?????

1n?1(108).?sinnxdx??sinn?1xcos?sinn?2xdx?nn1n?1(109).?cosnxdx?cosn?1xsinx?cosn?2xdx?nndx1sinxn?2dx(110).?secnxdx????nn?1?cosxn?1cosxn?1cosn?2xdx1cosxn?2dx(111).?cscnxdx??n???sinxn?1sinn?1xn?1?sinn?2x

先以凑微分对积分变量进行替换，紧接着以分部积分对之变形，当等式左右两侧都出

现相同的项时，通过移项的方式得到不定积分（108）的递推关系。（109）与之同理。

?sinnxdx??sinn?1xd(cosx)?cosxsinn?1x?(n?1)?cos2xsinn?2xdx?cosxsinn?1x?(n?1)?(sinn?2x?sinnx)dx?n?sinnxdx?cosxsinn?1x?(n?1)?sinn?2xdx1n?1??sinnxdx?cosxsinn?1x?sinn?2xdx?nn

?cosnxdx???cosn?1xd(sinx)??sinxcosn?1x?(n?1)?sin2xcosn?2xdx??sinxcosn?1x?(n?1)??cosn?2x?cosnx?dx?n?cosnxdx??sinxcosn?1x?(n?1)?cosn?2xdx1n?1??cosnxdx??sinxcosn?1x?cosn?2xdx?nn

依然可以考虑用同样的步骤完成（110）和（111）式，这是因为正割函数、余割函数与正切函数、余切函数都有恒等式的关系，因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算，