2020届山东省青岛市高三5月模拟检测数学试题（教师版）

因为f(?x)?3cos(?x)?sin(?x)?3cosx?sinx?f(x)， 所以f(x)是偶函数，故A正确；

因为f(x?π)?3cos(x?π)?sin(x?π)?3?cosx??sinx

?3cosx?sinx?f(x)，所以f(x)是以?为周期的周期函数，故B正确；

???x?0,?时，函数f(x)可化为 当??2??3?1?f(x)?3cosx?sinx?2?cosx?sinx?2sin(x?)， ??2?23??此时f(x)在?0，?上单调递增，在?,?上单调递减，故C错误；

?62??6?由于函数f(x)是以?为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可， 不妨取x?[0,?]，当x??0,???????????f(x)f(x)?2sin(x?)， 时，函数可化为?23?????5?????x???,?， x?0,由，得??3?36??2?所以当x??3??2，即x??6时，f(x)取得最大值2，

?1?3????x?,?f(x)??3cosx?sinx?2sinx?cosx?2sin(x?)， 当时，????2?23?2????由x?????2?????,??，得x???,， ?3?63??2?所以x??3??2，即x?5?时，f(x)取得最大值2， 6故当x?[0,?]时，f(x)取得最大值2，故D正确. 故选：ABD.

【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.

12.若长方体ABCD?A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则（ ）

A. B1E?A1B

8C. 三棱锥C1?B1CE的体积为

3B. 平面B1CE//平面A1BD

D. 三棱锥C1?B1CD1的外接球的表面积为24π

【答案】CD 【解析】 【分析】

uuuruuuruuuruuuruuur以{AB,AD,AA为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算B1E?A1B值即可判断A；分别求1}出平面B1CE，平面A1BD的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B；利用等体积法，求出三棱锥B1-CC1E的体积即可判断C；三棱锥C1?B1CD1的外接球即为长方体ABCD?A1B1C1D1的外接球，故求出长方体ABCD?A1B1C1D1的外接球的表面积即可判断D.

【详解】

uuuruuuruuur以{AB,AD,AA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 1}A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,4)，B1(2,0,4)，E(0,2,2)，

uuuruuur所以B1E?(?2,2,?2)，A， 1B?(2,0,?4)uuuruuuruuuruuur因为B1E?A，所以B1E与A1B不垂直，故A错误； 1B??4?0?8?4?0uuuruuurCB1?(0,?2,4)，CE?(?2,0,2)

r设平面B1CE的一个法向量为n?(x1,y1,z1)，则 uuuvv?n?CB1?0??2y1?4z1?0?y1?2z1uuuv由?v，得?，所以?，

?2x?2z?0x?zn?CE?011??11?不妨取z1?1，则x1?1，y1?2

r所以n?(1,2,1)，

urABD同理可得设平面1的一个法向量为m?(2,2,1)，

故不存在实数?使得n?λm，故平面B1CE与平面A1BD不平行，故B错误； 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，B1C1故B1C1是三棱锥B1?CEC1的高， 所以V三棱锥C1?B1CE?V三棱锥B1?CEC1?故C正确；

三棱锥C1?B1CD1的外接球即为长方体ABCD?A1B1C1D1的外接球，

rur?平面CDD1C1，

1118S△CEC1?B1C1???4?2?2?， 3323故外接球的半径R?22?22?42?6，

2所以三棱锥C1?B1CD1的外接球的表面积S?4?R2?24?，故D正确. 故选：CD.

【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.

三、填空题

13.已知命题“?x?R,x?ax?1?0”为假命题，则实数a的取值范围是_______

22? 【答案】??2,【解析】

命题“?x?R,x?ax?1?0”

2假命题，则“?x?R,x?ax?1?0”为真命题.

2

所以n?a2?4?0，解得?2?a?2. 答案为：?2,2.

??1??14.?x?2??x??的展开式中的常数项为______. x??26【答案】?25 【解析】 【分析】

11?1???先求得?x??中含2的项与常数项，进而可得x2?2?x??的常数项.

xx?x???6??61?1511?1??42?【详解】?x??的展开式中含2的项为C6x????2，?x???的展开式中的常数项为xxxxx??????1??1??Cx?????20，所以?x2?2??x??的展开式中的常数项为15?40??25.

x??x??33636646故答案为：?25.

【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.

15.已知f?x?为奇函数，当x?0时，f?x??【答案】x?y?1?0 【解析】 【分析】

利用函数f?x?为奇函数，可求出当x?0时，f(x)的表达式为f(x)?方程的求法，即可求出曲线y?f?x?在点??1,0?处的切线方程. 【详解】因为f?x?为奇函数，所以f(?x)??f(x)， 当x?0时，则?x?0，所以f(x)??f(?x)??lnx，则曲线y?f?x?在点??1,0?处的切线方程是______． xln(?x)，然后根据在一点处的切线xln(?x)ln(?x)?， ?xx1?(?1)?x?ln(?x)1?ln(?x)， 所以

f?(x)??x?x2x2所以曲线y?f?x?在点??1,0?处的切线的斜率k?f?(?1)?1，