第二讲盈亏问题

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思维提高训练篇

(二）复杂的盈亏问题

【思维引导】解决复杂的盈亏问题，同样需要采取转化思想，将复杂的盈亏问题转化为简单的盈亏问题，再利用公式可解。

物品的总数量改变

例1、小朋友分桃子，每人10个少11个，后来老师又多拿来了两个桃子，现在每人8个多7个。问：有多少个小朋友？

【分析】：两次分配中桃子的总数量发生了变化，第二次多了两个桃子。假如把多的两个桃子“抢”了，就和第一次分配的桃子总量一样。可由一盈一亏公式可解。注：第二次分配时被“抢”了两个桃子，则原来的“多7个”将转化为“多5个”。 解：（11+7－2）÷（10－8）= 8（人）

解法：将物品的总数量转化为统一

练习题：（1） 某校参加六一杯小学数学竞赛，原定考场若干个。每个考场坐24人，还有6人没座位；后来增加了60名考生，每个考场坐30人，还有10人没座位。总共有多少个考场？

物品的种类为两种或多种

例2、小朋友分一筐桃子和苹果，苹果是桃子的2倍，苹果每人分10个多6个，桃子每人分8个少12个，问：有多少个小朋友？

【分析】：分配的种类变为两种，无法直接运用公式。根据“苹果是桃子的2倍”和“苹果每人10个多6个”，若按苹果的分法去分桃子可知“桃子每人5个多3个” ，由此可转化为都分桃子。注：两类物品成倍数关系时，转化中每人分的个数和结果的个数都要成倍数变化。 解：(12+6÷2)÷(8－10÷2)= 5（人）

解法：把多种物品转化为一种

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练习题：（1）老师给同学分发课本和练习本，已知练习本比课本的3倍还多2本，课本每人1本刚好发完，练习本每人2本还剩17本，问：课本和练习本各多少本？

对象的总数量改变

例3、小朋友分桃子，每人10个少9个，后来又来了5个小朋友，重新分配，每人4个多7个，问小朋友原来有多少人？

【分析】：两次分配时总人数不同，无法直接运用公式。假如后来的5个小朋友没来，两次次分配人数就统一了，但第二次分配的结果就会发生变化。由“多7个”转化为“多27个”。注：“多27个”是由“5个小朋友每人分4个的和”加上“本来就多的7个”而来。 解：(4×5+7+9)÷(10－4)= 6（人）

解法：把对象的数量转化为统一

练习题：（3）幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友，每人3个余20个；如果分给小班的小朋友，每人8个缺2个。已知大班的人数是小班的2倍。这一筐苹果有多少个？

分的次数不是两次

例4、小朋友分桃子，先给3个人每人分了8个，其余每人10个，还少9个，如果每人8个，就要多7个，问小朋友有多少人？

【分析】：本题总共分了3次，无法直接运用公式。如果把前面两次分配转化为一次分配，则可直接运用公式。假设第一次的3个人每人也分10个，这样就还少6个，则可把前面两次分配转化为“每人10个，还少15个”。注：“少15个”由“少9个”加上“少6个”而来。 解：[(10－8)×3+9+7]÷(10－8)= 11（人）

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解法：把多次转化为两次。

练习题：（4）小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，还多出4只，如果一人分6只，其余每人分4只，又缺12只，小红家买来多少只桔子？小红家共有多少人？

单位不统一

例5、小朋友分桃子，每人10个，就有两个人没有分到，每人8个，剩2个桃子，问共有多少个小朋友？

【分析】第一次分配是两人没分到，第二次分配是剩2个桃子，单位不统一不能直接运用公式。需要将第一次分配结果“两人没分到”转化为“还缺20个桃子”，就能直接运用公式了。注：“缺20个桃子”由“两个人每人分10个”得来。 解：(2×10+2)÷(10－8)= 11（人）

解法：把两次分配结果的单位都要统一为物品的单位

练习题：（5）育才小学学生乘汽车去春游，如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？

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思维拓展训练篇

（3）盈亏问题拓展

【思维引导】有些行程问题，工程问题和鸡兔同笼问题等可转化为盈亏问题。 例1、李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可以提前5天完成。这批零件共有多少个？

【分析】：乍一看，这道题应该是工程问题，但是仔细斟酌，其实是一道盈亏问题，用盈亏问题的解题方法来解更简便。通过审题，我们可以把“零件”转化为“物品”，把“天数”转化为“对象”。“晚8天完成”可转化为“还差400个零件”，“提前5天完成”转化为“多做300个零件”。得到典型的盈亏问题。 解：(8×50+5×60)÷(60－50)= 70（天） 70×60－60×5=3900（个）

练习题：（1）钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。小明带了多少钱？

例2、小明8点3分从家出发去上学，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就会提前2分钟到校。问：小明上课时间是几点几分？ 【分析】虽是行程问题，同样可转化为盈亏问题。把“路程”看作“物品”，把“时间”看作“对象”，则可转化为“每分钟走50米，还差150米，每分钟走60米，就多120米”，注：所求出的时间是准时上课需要的时间。 解：（3×50+2×60）÷（60—50）=27（分钟） 8点3分+27分=8点30分

练习题：（2）一个旅行社住旅馆，如果每个房间住3个人，还有16个人没法住；如果每个房间住5个人，还有两个房间没人住，问旅行社共有多少个人？

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