新人教版高中物理必修第二册学案：7.3 万有引力理论的成就

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(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？

(2)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？ [答案] (1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。

m太mv24π22

(2)由Gr2＝man＝mr＝mωr＝mT2r表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。 [探究归纳] 1.基本思路

一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万。 2.常用关系

m天mv24π22

(1)Gr2＝mr＝mrω＝mrT2＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。

m天m

(2)mg＝GR2，在天体表面上物体的重力等于它受到的万有引力，可得gR2＝Gm天，该公式称为黄金代换。 3.四个重要结论

项目 推导式 关系式 结论 9

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v与r的关系 ω与r的关系 T与r的关系 a与r的关系 m天mv2Gr2＝mr m天mGr2＝mrω2 m天m2π2Gr2＝mr(T) m天mGr2＝ma v＝ω＝T＝2πGm天r Gm天r3 r3 Gm天r越大，v越小 r越大，ω越小 r越大，T越大 r越大，a越小 Gm天a＝r2 速记口诀：“高轨低速周期长，低轨高速周期短”。 [试题案例]

[例3] 火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。根据以上数据，以下说法中正确的是( ) A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的大 B.火星公转的周期比地球的长 C.火星公转的线速度比地球的大 D.火星公转的向心加速度比地球的大

m天mm天

[解析] 由GR2＝mg得g＝GR2，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面m天m2?2π?2

的5，选项A错误；由Gr2＝m?T?r得T＝2π

??

r3，公转轨道半径大的周Gm天

期长，选项B正确；由v＝Gm天

r判断轨道半径大的线速度小，选项C错误；

Gm天

公转向心加速度a＝r2，可以判断火星的向心加速度小，选项D错误。 [答案] B

方法总结 解答天体运动问题的技巧 (1)建立模型

不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题。 (2)列方程求解

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根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解。

m天mv24π22

F向＝F万＝ma＝Gr2＝mr＝mrω＝mT2r。

[针对训练2] (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )

A.b所需向心力最小

B.b、c的周期相同且大于a的周期

C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度

[解析] 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，而b所受的万有Gm天mGm天

引力最小，故A正确；由r2＝man得，an＝r2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，Gm天m4π2mr

C错误；由r2＝T2得，T＝2πr3，即卫星运动的周期与其轨道半径Gm天

三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由m天mv2

Gr2＝mr得，v＝

Gm天

r，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比， 11

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所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。 [答案] ABD

核心要点三 双星模型

1.双星模型：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。

2.双星模型问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心

2m天mv24π

力，即GL2＝mr＝mrω2＝mrT2＝mωv＝man。

3.双星模型的特点

(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m2ω22r2。

(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)轨道与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。

m1r2(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m＝r。

2

1

Gm1m2Gm1m22

2＝m1ω1r1，LL2[例4] 在轨运行26年的哈勃太空望远镜，曾拍摄到天狼星A和天狼星B组成的双星系统在轨运行图像，如图所示。它们在彼此间的万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀速圆周运动，已知mA＝bmB，且b＞1，则下列结论正确的是( )

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