2018-2019学年山西省忻州市偏关县八年级(下)期中数学试卷

能算诸君请解题，湖水如何知深浅” 请用学过的数学知识回答这个问题．

【分析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出．

【解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为（x+0.5）尺，AC的长度为s， 根据勾股定理得： 在Rt△ABC中，有： x2+s2＝（x+0.5）2， 在Rt△ADC中，有： 0.52+s2＝22，

由以上两式解得：x＝3.5， 即湖水深3.5尺．

【点评】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解． 20．（8分）阅读与探究

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 请结合上述阅读材料，解决下列问题：

（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是 矩形 ；（写出一种即可） （2）下面图1，图2均为6×6的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接AD，CD，使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．

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【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案； （2）根据要求分别得出符合题意的图形．

【解答】解：（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是：矩形（答案不唯一）；

故答案为：矩形（答案不唯一）；

（2）如图1，图2所示，即为所求．

【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握定义是解题关键． 21．（10分）已知：如图，四边形ABCD中AB＝BC＝1，CD＝求：

（1）∠BAD的度数．

（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）

，AD＝1，且∠B＝90°．试

【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BAD的度数；

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（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．

【解答】解：（1）连接AC， ∵AB＝BC＝1，∠B＝90° ∴AC＝

又∵AD＝1，DC＝∴（

）＝12+（

）2

即CD2＝AD2+AC2 ∴∠DAC＝90° ∵AB＝BC＝1

∴∠BAC＝∠BCA＝45° ∴∠BAD＝135°；

（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC ＝1×1×+1×＝+

．

×

【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

22．（13分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

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【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；

（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE＝∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，

又∵∠FEA＝∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD＝FA， 又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）BC＝2CD． 证明：∵CF平分∠BCD， ∴∠DCE＝45°， ∵∠CDE＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD＝DE， ∵E是AD的中点， ∴AD＝2CD， ∵AD＝BC， ∴BC＝2CD．

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