2019-2020学年浙江省绍兴市上虞区高二上学期期末数学试题(解析版)

则有B′H＝sinα，CH＝cosα，∠ACH＝在△AHC中，由余弦定理得：

?﹣α， 2?﹣α） 2AH2＝AC2+CH2﹣2×CH×AC×cos∠ACH＝3+cos2α﹣23cosαcos（ ＝3+cos2α﹣23sinαcosα， 在Rt△AHB′中，由勾股定理得：

AB'2＝AH2+B′H2＝3+cos2α﹣23sinαcosα+sin2α＝4﹣3sin2α， ∴当α＝

?时，AB′取得最小值4?3. 4故答案为：4?3.

【点睛】

本题考查了根据余弦定理求最值，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

17．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A（0，5）且与曲线x2+y2＝5（x＞0）相切于点B，则直线l的方程是_____，设E是线段OB中点，长度为5的线段PQ（P在Q的上方）在直线l上滑动，则|OP|+|EQ|的最小值是_____. 【答案】2x﹣y+5＝0或2x+y﹣5＝0

10?5 2【解析】由直线与圆相切求出切线的斜率即可得知切线的方程；作出图象，结合勾股定理表示出|OP|+|EQ|＝5?PB2?得最小值.

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5?(PB?5)2，所以当PB?5时，|OP|+|EQ|取4【详解】

①显然直线l的斜率一定存在，所以设直线l的方程为：y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0， ∵直线l与曲线x+y＝5（x＞0）相切，∴2

2

5k?(?1)22?5，解得：k＝±2，

∴直线l的方程为：2x﹣y+5＝0或2x+y﹣5＝0.

②由①可知， 直线l的两条方程关于y轴对称，所以不妨取直线l的方程为2x﹣y+5＝0，如图所示，由勾股定理得，OP?OB2?PB2?5?PB2，

?5?2＝?(PB?5)EQ?EB2?BQ2?EB2?(PB?PQ)2＝???2???255?(PB?5)2，所以|OP|+|EQ|＝5?PB2??(PB?5)2， 44当PB?5时，|OP|+|EQ|取得最小值，为10?5. 25. 2故答案为：2x﹣y+5＝0或2x+y﹣5＝0；10?【点睛】

本题考查了求直线方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

三、解答题

18．已知点A（﹣2，1），B（2，4），点P是直线l：y＝x上的动点. （1）若PA⊥PB，求点P的坐标；

（2）设过A的直线l1与过B的直线l2均平行于l，求l1与l2之间的距离. 【答案】（1）（0，0）或（

552 ，）；（2）

2225a?1a?4???1，解得：a＝0或，a?2a?22【解析】（1）设点P（a，a），利用PA⊥PB得从而求出点P的坐标；

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（2）设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n），代入点A，B的坐标，求出m＝3，n＝2，再利用两平行线间的距离公式即可求出结果. 【详解】

（1）∵点P是直线l：y＝x上的动点，∴设点P（a，a）， ∵PA⊥PB，∴

555a?1a?4???1，解得：a＝0或，∴点P（0，0）或（，）； a?2a?2222（2设直线l1的方程为：y＝x+m，设直线l2的方程为：y＝x+n，（m≠n）， ∴﹣2+m＝1，2+n＝4，∴m＝3，n＝2，

∴直线l1的方程为：y＝x+3，即x﹣y+3＝0，直线l2的方程为：y＝x+2，即x﹣y+2＝0， ∴l1与l2之间的距离为：【点睛】

本题考查了求直线的交点，平行直线距离，意在考查学生的计算能力.

N分别为线段BB1，A1C的中点，MN⊥AA1，19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M，且MA1＝MC.求证：

|3?2|11?(?1)2?2. 2

（1）MN//平面ABC； （2）平面A1MC⊥平面A1ACC1.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）取AC中点P，连结NP，BP，推导出四边形PNMB是平行四边形，从而MN∥BP，由此能证明MN∥平面ABC；

（2）推导出MN⊥A1C，MN⊥AA1，从而MN⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1MC⊥平面A1ACC1. 【详解】

（1）取AC中点P，连结NP，BP，∵N是A1C中点，P为AC中点， ∴PN∥AA1，且BB1＝AA1，又M为BB1中点，∴BM∥AA1，且BM＝

1AA1， 2∴PN∥BM，且PN＝BM，∴四边形PNMB是平行四边形，∴MN∥BP，

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∵MN?平面ABC，BP?平面ABC，∴MN∥平面ABC. （2）∵MA1＝MC，且N是A1C的中点，∴MN⊥A1C， 又MN⊥AA1，AA1∩A1C＝A1，

A1C，AA1?平面A1ACC1，∴MN⊥平面A1ACC1， ∵MN?平面A1MC，∴平面A1MC⊥平面A1ACC1.

【点睛】

本题考查了线面平行和面面垂直，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

20．已知直线l：3x﹣4y+t＝0，圆C1经过点A（0，1）与B（2，1），且被y轴的正半轴截得的线段长为2. （1）求圆C1的方程；

（2）设圆C2是以直线l上的点为圆心的单位圆，若存在圆C2与圆C1有交点，求t的取值范围.

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2；（2）[10﹣52，10+52]

【解析】（1）由题意结合图形求出圆C1的圆心坐标和半径，即可写出圆C1的标准方程；（2）由题意知直线3x﹣4y+t＝0表示一组平行线，由圆心C1到直线的距离列出不等式，即可求得t的取值范围. 【详解】

（1）由题意知，被y轴的正半轴截得的线段长为2，故圆过点D?0,3?， 圆C1经的圆心在线段AB、AD的垂直平分线交点上，

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