(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习 导数与函数的综合问题练习(含解析)

第3课时 导数与函数的综合问题

[基础达标]

1．(2019·台州市高考模拟)已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为( )

A．0 C．0或1

B．1 D．无数个

解析：选A.因为g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(0)＝1，y＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，g(x)＞g(0)＝1，所以g(x)在(0，＋∞)上无零点．

2．(2019·丽水模拟)设函数f(x)＝ax－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．

解析：(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 313

当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax－3x＋1≥0可化为a≥2－3. 3

xx313（1－2x）

设g(x)＝2－3，则g′(x)＝， 4xxx?1??1??1?所以g(x)在区间?0，?上单调递增，在区间?，1?上单调递减，因此g(x)max＝g??＝4，

?2??2??2?

从而a≥4.

31

当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤2－3. xxg(x)在区间[－1，0)上单调递增，

所以g(x)min＝g(－1)＝4，

1

从而a≤4，综上可知a＝4. 答案：4

3．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a∈R)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在??1?0，3???

上无零点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x， 则f′(x)＝1－2x－2

x＝x，

由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，

故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．

(2)因为f(x)＜0在区间??1?0，3???上恒成立不可能，

故要使函数f(x)在??1?0，3???上无零点， 只要对任意的x∈???0，13???

，f(x)＞0恒成立， 即对x∈???0，13???，a＞2－2ln xx－1恒成立． 令h(x)＝2－2ln xx?1?－1，x∈??0，3??，

2ln x＋2－2

则h′(x)＝x（x－1）

2，

再令m(x)＝2ln x＋2x－2，x∈??1?0，3???， 则m′(x)＝－2（1－x）

x2＜0， 故m(x)在???0，13???上为减函数，

于是，m(x)＞m??1?3???

＝4－2ln 3＞0， 从而h′(x)＞0，于是h(x)在??1?0，3???上为增函数， 所以h(x)＜h??1?3???

＝2－3ln 3， 所以a的取值范围为[2－3ln 3，＋∞)．

4．(2019·嵊州市第二次高考适应性考试)已知函数f(x)＝x2

＋1x，x∈(0，1]．(1)求f(x)的极值点；

2

3

(2)证明：f(x)＞x＋. 41

解：(1)f′(x)＝2x－2.

x31

令f′(x)＝0，解得x＝∈(0，1]．

2

31

当0＜x＜时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；

231当＜x≤1时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，

231

所以，f(x)有极小值点x＝，但不存在极大值点．

2

4x－（x）－2

(2)证明：设F(x)＝f(x)－x，x∈(0，1]，则F′(x)＝2x－2－＝， 2

x2x2x1

1

设t＝(x)，则方程4x－(x)－2＝4t－t－2＝0在区间t∈(0，1)内恰有一个实根． （x0）＋2

设方程4x－(x)－2＝0在区间(0，1)内的实根为x0，即x＝.

4

3

3

30

3

3

3

3

2

3

3

所以，当0＜x＜x0时，F′(x)＜0，此时F(x)单调递减； 当x0＜x≤1时，F′(x)＞0，此时F(x)单调递增．

3

x3330－（x0）＋1

所以[F(x)]min＝F(x0)＝x＋－x0＝＝－x0＋.

x0x042x0

20

1

3333333

由y＝－x＋在(0，1]上是减函数知，－x0＋＞－×1＋＝，故[F(x)]min

42x42x042×143

＞. 4

3

综上：f(x)>x＋. 45.

3

函数f(x)＝13x3＋ax2

＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：

(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝13x3＋ax2

＋bx＋c，

所以f′(x)＝x2

＋2ax＋b.

因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，

所以???－1＋2＝－2a，?解得a＝－1，b＝－?－1×2＝b，

22，

由导函数的图象可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减， 当x＜－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，

故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减．(2)由(1)得f(x)＝1312

3x－2

x－2x＋c，

函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数， 所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝7

6＋c，

极小值为f(2)＝c－10

3

.

??76＋c＞0，

而函数f(x)恰有三个零点，故必有?

??c－103＜0，

4