高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选 含答案

向 量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a；

坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.2..向量的运算运算类几何方法 型 向量的 1.平行四边形法则 加法 向量的 三角形法则 减法 2.三角形法则 坐标方法 运算性质

?x1?x2

?y1?y2

(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? uuuruuurAB??BA,OB?OA?AB 数 乘 向 量 向 量 的 数 量 积 r1.?a是一个向量,满rr足:|?a|?|?||a| rr2.?>0时, ?a与a同向; rr?<0时, ?a与a异向; rr?=0时, ?a?0. rra?b是一个数 rrrr1.a?0或b?0时， rra?b?0. rrrra?0且b?0时，2.rrrr agb?|a||b|cos(a,b) 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

rrrrrr⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．

rrrr⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；

rrrrrrrrrrr②结合律：a?b?c?a?b?c；③a?0?0?a?a．

????rrrr⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

4.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

rrrruuur设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?．

5.向量数乘运算：

rr⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a． ①

?a??a；

rrrr②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，

rrrr?a?0．

rrrrrrrrr⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b．

??⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．

rrrrrrrr6.向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．

??rrrrrrrr设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、bb?0共线．

??uruur7.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向

量a，有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）

8.分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当

rruruururuuruuuruuur?x??x2y1??y2?, ?1?????2时，点?的坐标是?1?．（当??1时，就为中点公式。）1????1??9.平面向量的数量积：

rrrrrrrroo⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．

??rrrrrrrrrrrrr⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，a?b?ab；当a与rrrrrrrrrrrr2r2rrrb反向时，a?b??ab；a?a?a?a或a?a?a．③a?b?ab．

rrrrrrrrrrrrrrrrr⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c．

??????rrrr⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2．

rrr2rr2222若a??x,y?，则a?x?y，或a?x?y． 设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则

rra?b?x1x2?y1y2?0．

rrrrrr设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，?是a与b的夹角，则

rrx1x2?y1y2a?bcos??rr?．

2222abx1?y1x2?y2⑤线段的定比分点公式：（??0和?1）

??P（x1,y1）,(x,y),(x2,y2)，则设 1P=?PP2（或P2P=1PP1），且P1,P,P2的坐标分别是

??y?????x???y1??y21??x1??x21??

BM推广

y?y2?y?1A?2 1：当??1时，得线段P1P2的中点公式：???x?x1?x2??2??则PM?P推广2：AMMBPA??PB1??（?对应终点向量）．

三角形重心坐标公式：△ABC的顶点A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，重心坐标G?x,y?：

x1?x2?x3?x???3 ??y?y1?y2?y3?3?注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件． ⑥平移公式：若点

?P?x,y?按向量a=?h,k?平移到

P‘?'??x?x?hx,y，则?'??y?y?k''?

4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则

abc???2R． sinAsinBsinC?a2?b2?c2?2bccosAA?B?tan?2222 （2）余弦定理：?b?a?c?2accosB （3）正切定理：a?b?A?Ba?b?222tanc?b?a?2abcosC?2?

（4）三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r．

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式]