2013中考压轴题选讲专题7：几何三大变换问题（排版+答案）

6、已知，在△ABC中，AB=AC。过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角错误！未找到引用源。，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN。 （1）当∠BAC=∠MBN=90°时，

①如图a，当错误！未找到引用源。=45°时，∠ANC的度数为_______；

②如图b，当错误！未找到引用源。≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；

（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明。

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典型例题参考答案

例题1：【答案】解：(1)5。

由折叠（轴对称）性质知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=900。

在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴ A?C?52?32?4。 ∴A′B=BC－A′C=5－4=1。

∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=90， ∴∠BEA′=∠FA′C。 又 ∵∠B=∠C=900，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。∴ ∴ A?E?53A?EA?F?A?BFC0

，即

A?E5?13

。

2595103在Rt△A′EF中，EF?（2）①3?x?5。

A?E?A?D22??25?。

②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。 又 ∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ 。∴∠AEF=∠AFE 。 ∴AE=AF。∴AE=A′E=AF=A′F。 ∴四边形AEA′F是菱形。

【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。

【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A′与B重合时（如图1），EF= AD=5。

根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的长，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF求得A?E?53，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的长。

（2）①由图3和图4可得，当3?x?5时，四边形AEA′F是菱形。

②由折叠和矩形的性质，可得AE=A′E，AF=A′F。由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF。从而AE=A′E=AF=A′F。根据菱形的判定得四边形AEA′F是菱形。

例题2：【答案】解：（1）如图1。

①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。同理可得：∠BAC=180°－2α。∴∠DAE=∠BAC。 ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。

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在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。 ②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠CEA。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。 （2）如图2，BD=kCE，90???2α。

（3）作图如下：

90?+?2 。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质

【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE。

②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出

∠BMC=∠DAE=180°－2α。

（2）∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=

同理可得：∠BAC=90???2180???ADE2=90???2。

。 ∴∠DAE=∠BAC。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE， 即：∠BAD=∠CAE。 ∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，∴△ABD∽△ACE。 ∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA。∴BD=kCE。 ∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90???2。

（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三

角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90???2，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，

?2 从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=90?+∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=

180???ADE2=90??：

?2。

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同理可得：∠BAC=90???2。

∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE。 ∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。 ∴∠BDA=∠CEA。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α， ∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90??2

?2+α=90?+?2。

例题3：【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．

?9a＋3b＝0?a＝1

?∴，解得：?。 ?16a＋4b＝4?b＝－3

∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。

(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，

得：4＝4k1，解得k1＝1。 ∴直线OB的解析式为y＝x。

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。 ∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。

又点D在直线y＝x－m上，∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m＝0，解得：m＝4。 此时x1＝x2＝2，y＝x－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。

(3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，

∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。 设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)， 1∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。

41

∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。

4∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。

1

∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，

4132

∴ n＋3＝n－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，

44会去)。

345

∴ 点N的坐标为(－，)。

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