解决一类函数双零点问题

解决一类函数双零点问题 张凯伟

在高考理数的压轴导数题中，给出一个函数，对于其多个零点x1，x2，……xn的和或差的大小的证明是一类常考题型，笔者总结了几道高考题，将其分类得到一般解法（文中策略一和策略二），总结如下，同时还突发奇想，想到了用对称变换来证明这些问题，并总结出了其一般步骤，并飨读者。

策略一：常规思路，构造单调性模型

例1．（2016新课标1卷21题）已知函数f(x)=(x-2)*e^x+a(x-1)^2有两个零点。 （1） 求a的取值范围

（2） 设x1，x2是f（x）的两个零点，求证x1+x2＜2. 解法一：（标准答案解法）

（1） 运用了复杂的分类讨论得出a＞0（略去赘述）

（2） 不妨设x1＜x2，由（1）的证明知x1＜1，x2＞1，2-x＜1，f(x)在x＜1时单调递减，所以x1+x2＜2等价于f（x1）＞f（2-x2），即证明f（x-2）＜0

而 f(x-2)=-x2e^(x2-2)-(x2-2)e^x2再结合x2为f（x）零点，将上述等式转化为证明 g（x）=-xe^(2-x)-(x-2)e^x在x＞1时恒为负。（其余步骤可求导证明，不再赘述）

策略二：大众思路，指数的乘除运算转化为加减运算

例2（2016山西省高三质检21题（2））已知函数f(x)=e^x,直线l：y=x+1，若y=m*f（x）的图像上存在不同的两点A（x1，mf（x1）），B（x2，mf（x2），其关于y轴的对称点在直线l上，求证x1+x2＞4.

解法一：（标准答案解法）

（2） 不妨设x1＞x2，由题意，有：m*e^x1=-x1+1,m*e^x2=-x2+1,两式相加减，得： m*e^x2(e^(x1-x2)-1)=-(x1-x2), m*e^x2(e^(x1-x2)+1)=2-(x1-x2).两式相除得：

2-（x1+x2）=-（x1-x2）*（e^(x1-x2)+1）/(e^(x1-x2)-1)。至此右边为关于（x1-x2）的函数，只需证明其在自变量大于零时恒小于-2。（其余步骤为简单的求导证明，不再赘述）

策略三：独特想法，对称变换转化为恒成立问题

思路的起源：众所周知，如果单调f（x）的图像本身关于直线x=a对称，则对于定义域内的x1，x2，若f（x1）=f（x2），则有x1+x2=2a。反之亦然。如此，若在f（x1）=f（x2）时证明x1+x2大于或小于2a，岂非证明f（x）的“不对称性”？偏向哪边，则哪边就偏离轴更远。（此处注意这不是等价变形，后者是前者的充分不必要条件）则对于上述的两个例题，我们可以还给出其他的解法： 例1， 解法二：

（1）.令f（x）=0，得a=g（x）=（2-x）*e^x/(x-1)^2。

（g（x）中没有参数，f（x）有双零点等价于g（x）与y=a有两个交点。故只须考虑g（x）的大致走势）

而g（x）显然只有一个零点2，且当x趋于负无穷时g（x）趋于0，当x趋于1时g（x）趋于正无穷，且求导后易得g（x）在x小于1时单调递增，在x大于1时单调递减。于是若要与y=a有两个交点，当且仅当a大于0. （2）.做g（x）关于x=1的对称函数h（x），则h（x）=g（2-x）=x*e^(2-x)/(x-1)^2,结论x1+x2＜2.，其充分条件为当x＞1时h（x）＞g（x）恒成立，而同时约去分母，就得到了解法一中的式子-xe^(2-x)-(x-2)e^x恒为负。（其余步骤可求导证明，不再赘述）

例2，解法二

（2）实际上x1，x2是F（x）=m*e^x+x+1的两个零点，因此令F（x）=0，得：

m=g（x）=（1-x）/(e^x)与上同，易得（-1）/e^2＜m＜0。仍做g（x）关于x=2的对称函数h（x）=g(4-x)=(x-3)/e^(4-x)，只需证明x＞2时h（x）＞g（x）恒成立。其余不再赘述。

策略四：新奇思路，双根式解决二次函数的双根大小

对与二次函数y=ax^2+bx+c,习惯上写出它的双根式y=a(x-x1)(x-x2)，表明其有两根x1，x2.那么对于二次函数双根的不等式问题，往往也可以使用是双根式进行求解，而出现的两个式子的积形式也可以用基本等式运算。

例3.f（x）=x^2+bx+c在区间（1,3）上有两个不同的零点x1，x2，证明f（1）、f（3）中至少有一个不大于1. 解法一（常规思路）：运用反证法即假设若f（1）、f（3）都大于1，推出矛盾，在此不进行

赘述

解法二（双根法）：f（x）=（x-x1）（x-x2），f（1）=（1-x1）*（1-x2）＞0， f（3）=（3-x1）*（3-x2）＞0，于是f（1）*f（3）=（1-x1）*（1-x2）*（3-x1）*（3-x2）=（1-x1）（x1-3）（1-x2）（x2-3）＜=（（1-x1+x1-3）/2）^2*（（1-x2+x2-3）/2）^2=1 即f（1）*f（3）＜1（取不到等号，是因为取等号的条件为x1=x2=2）