全国高中数学联赛省级预赛模拟试题 - 4

y2?1的两支之间的区域内。因此，原不等式与不等式组由双曲线的定义知，满足上述条件的点在双曲线(x-3)-32

?y22?1,?(x?3)?同解。所以，原不等式的解集为{x|3?2?x?3?2}. 3??y2?3?16．y+a=2ax，去掉点(0,-a).

设点P(x,y)，则AP=(x,y+a),BP=(x,y-a).

又n=(1,0),m=(0,a)，故m+λn=(λ,a),n+2λm=(1,2λa). 由题设知向量AP与向量m+λn平行，有λ(y+a)=ax. 又向量BP与向量n+2λm平行，有y-a=2λax.

222222

两方程联立消去参数λ，得点P(x,y)的轨迹方程是(y+a)(y-a)=2ay，即y-a=2ax，去掉点(0,-a). 17.ξ的取值为5，7，9，则

2

2

22

1?1?511?1?14?1?P(ξ=5)=C2???, P(ξ=7)=C2C5??????,

64?2?2?2??2?161555??. 166464918．（1）由m?n=,得

85A?B951?cos(A?B)9[1?cos(A?B)]?cos2?，即[1?cos(A?B)]??,亦即4cos(A-B)=5cos(A+B).所以8288281tanA?tanB=.

9absinCabsinC1??tanC，而 （2）因2a?b2?c22abcosC2tanA?tanB993tan(A?B)??(tanA?tanB)??2tanA?tanB?.

1?tanA?tanB88431所以tan(A+B)有最小值。当且仅当tanA=tanB=时，取得最小值。

433又tanC=-tan(A+B)，则tanC有最大值?.

4absinC3?. 故2的最大值为228a?b?cP(ξ=9)=1?19．如试题中图2所示，联结AI，DI，EI。则

5421110

∠DIE=(180-∠C)=(∠ABC+∠BAC). 2221又∠EDC=∠DBG+∠BGD，所以∠BGD=∠BAC=∠IAE。

2∠EDC=

故四边形AIEG内接于圆，有∠AGI=∠AEI=90。 所以AG?BG.

2

20．当0≤x≤1时，有f(x)=f(x+2)=-2(x-1)+4；

2

当-1≤x≤0时，有f(x)=f(-x)=-2(-x-1)+4；

22

当1≤x≤2时，有f(x)=f(x-2)=-2[-(x-2)-1]+4=-2(x-1)+4. 设D(x,t), C(2-x,t).

2

则t=-2(x-1)+4，易知

0

?(8?2t)?t?t?S矩形ABCD=|AB|?|BC|=(2-2x)t=(8?2t)t?t?? ?3??3?166. 9

当且仅当t?86166，即x?1?时，矩形ABCD面积最大值. 33921．（1）建立如图5所示的直角坐标系，D(-1,0)，弦EF所在直线方程为y=x+1.

x2y2设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),E(x1,y1),F(x2,y2).

ab由2DE+DF=0，知y1+y2=-y1,y1y2=-2y12.

?x2y2?1,??2222222由?a2b2消去x得(a+b)y-2by+b-ab=0. ?y?x?1,?则Δ=4b4-4(a+b)(b-ab)=4ab(a+b-1)>0（因(a+b>1）

222222222222b2b2?a2b2由韦达定理知y1?y2?2??y1,y1y2?2??2y12.y 22a?ba?b?2b2b2?a2b2??2?消去y1得2?a2?b2a?b2?解得1

因此，椭圆长轴长的取值范围为(2,25). (2) 若D为椭圆的焦点，则c=1. 故b2=a2-1.

22?22a(a?1)??a. ，即00，故所有xn>0. 又xn?1?21?xnxn?1，所以xn∈(0,1]

因为x3<

2x2442，所以，即2x?2?3x2?2?0. 251?x251或x2>2. 212解得x2?又x2∈(0,1]，则0

5?????. 122（2）令x=y=0，得f(0)=0.

令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(-y)=-f(y). 故f(x)为奇函数。

nnn??注意到f(xn+1)=f??f?1?x2??1?x(?x)???f(xn)?f(?xn)?2f(xn), n?nn????2x??x?(?x)?即

f(xn?1)?2,

f(xn)所以，数列{f(xn)}是等比数列。

n-1n-1n-2

故f(xn)=f(x1)?2=f(a)?2=2.

全国高中数学联赛模拟试题

第一试试题

一、选择题（每空6分）

1．将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有_______种不同装法。

4A．7 B．14 C．C19 D．7×5！

2．若对实数x∈[10,+∞）恒有|logmx|≥2，则m取值范围是_________。

??10?10???A．（0，1） B．(1,10] C．0,?10? D．?10,1??1,10 ??????3．椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OP?OQ，则椭圆的离心率

e的取值范围是_________。 A．??5?1???3?5?1?5?15?1?,1?,1 B．?0, C． D．[,] ?????2?44?2???2?4．若p,q∈N+且p+q>2007, 0

1的所有分数的和为_________. pqA．

200620071 B． C． D．1 2007200825．已知A，B，C为ΔABC的三个内角，记y=sin3A+sin3B+sin3C，则y的取值范围是______。

??33?33??A．[0，2] B．?2,? C．[-2，2] D．???0,2? 2????6．对任意一组非负实数a1,a2,?,an，规定a1=an+1，若有为_________. A．0 B.

?k?1na?akak?1?a2k2k?1???ai恒成立，则实数λ的最大值

i?1n2 C．1 D．2 2二、填空题（每题9分）

7．四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，腰DA垂直于底边AB，PD是棱锥的高，PD=AD=AB=2CD=1，则二面角A—PB—C大小为_________。

8．数列{an}满足a1=1, a2=2, an+1=(n-1)(an+an-1)n≥2，则{an}的通项公式为an=_________。 9．满足条件：对任意x∈R,都有f(f(x))=x且f(f(x)+1)=1-x的函数f(x)有_________个。

10．AM为抛物线的一条弦，C为AM的中点，B在抛物线上，且BC平行于抛物线的对称轴，E为AC中点，DE//BC，且D在抛物线上，则

DE?_________。 BC11．已知平面向量a=(3,-1),b=??13????2

?，若存在非零实数k和角?,???,，使得c=a+(tanα-3)b, ?,???22??22???d=-ka+(tanα)b，且c?d，则k=_________。（用α表示）

12．已知复数z1,z2,z3满足|z1|≤1,|z2|≤1,|2z3-(z1+z2)|≤|z1-z2|，则|z3|的最大值与最小值的差为_________。 三、解答题（每题20分）

13．设抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点F作一条弦AB，设AO，BO延长线分别交准线于C，D，若四边形ABCD的面积的最小值为8，试求此抛物线的方程。

2?an???214．给定a>2，数列{an}定义如下：a0=1, a1=a, an+1=??a2?an，证明：对任何k∈N，有

?n?1?1111?????(2?a?a2?4)。 a0a1ak2