2020年高考数学（理）一轮复习练习：第65讲离散型随机变量的均值与方差 正态分布

第65讲 离散型随机变量的均值与方差 正态分布

时间 / 45分钟 分值 / 90分

基础热身

1.一次考试中,某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100),则该班该次数学考试的及格率(成绩达到90分为及格)可估计为(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68) ( ) A.60% B.68% C.76% D.84%

2.[2018·太原模拟] 随机变量X的分布列如下:

X P

-1 a 0 1 b c 其中a,b,c依次成等差数列.若E(X)=,则D(X)的值是

( )

A. B. C. D.

3.[2018·兰州一中月考] 设随机变量ξ~N(2,σ2),若P(ξ≥a)=0.3,则P(ξ>4-a)等于 ( ) A.0.4

B.0.5

C.0.6

D.0.7

4.[2018·绍兴一中月考] 设随机变量ξ的分布列如下表所示,若E(ξ)=1.6,则a-b= ( )

ξ P 0 0.1 1 2 3 0.1 a b A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4

5.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)= .

能力提升

6.[2018·德阳二诊] 为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).根据正态分布的相关知识估计本次听写测试成绩高于90分的学生所占的百分比为 ( ) A.0.13% B.1.3% C.3%

D.3.3%

7.[2018·杭州质检] 已知0

ξ P -1 0 1 -a a 当a增大时 ( ) A.E(ξ)增大,D(ξ)增大 B.E(ξ)减小,D(ξ)增大 C.E(ξ)增大,D(ξ)减小 D.E(ξ)减小,D(ξ)减小

8.[2018·肇庆三模] 已知5台机器中有2台发生故障,现需要逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元,则所需检测费用的均值为 ( ) A.3200元 C.3500元

B.3400元 D.3600元

9.[2018·厦门外国语学校月考] 我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会,届时高山滑雪项目将给我们以速度与激情的完美展现,若某选手的速度ξ(单位:km/h)服从正态分布(100,σ2)(σ>0),且ξ在[80,120]内的概率为0.7,则他的速度超过120 km/h的概率为 . 10.[2018·凉山州模拟] 一批产品的废品率为0.01,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取10件,X表示抽到废品的件数,则E(X)+D(X)= .

11.[2018·珠海六校联考] 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数

A=a1a2a3a4a5,在A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为 ,出现1的概率为 .若启

动一次出现的二进制数A=10101,则称这次试验成功,若进行100次重复试验,则试验成功的次数η的方差为 .

12.(10分)[2018·郑州质检] 已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出1吨该商品可获利0.5万元,未售出的商品,每吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图K65-1所示.已知该电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品,现以x(单位:吨,100≤x≤150)表示下一个销售季度的市场需求量,T(单位:万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.

图K65-1

(1)视x分布在各区间内的频率为相应的概率,求P(x≥120); (2)将T表示为x的函数,求出该函数表达式;

(3)在频率分布直方图的市场需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的值,并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该区间中点值的概率(例如若x∈[100,110),则x=105的概率等于市场需求量落入[100,110)的频率),求T的分布列及数学期望E(T).

13.(12分)[2018·呼和浩特二模] 某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位:克)分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]内,经统计得到的频率分布直方图如图K65-2所示.

(1)现采用分层抽样的方法从质量在[250,300),[300,350)内的芒果中随机抽取9个,再从这9个中随机抽取3个,记随机变量X表示质量在[300,350)内的芒果个数,求X的分布列及数学期望.

(2)同一组数据用该区间的中点值代表,将频率视为概率.某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商对这10 000个芒果提出如下两种收购方案: A:所有芒果以10元/千克收购;

B:质量低于250克的芒果以2元/个收购,质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?

图K65-2

难点突破

14.(13分)[2018·沈阳三模] 某钢管生产车间生产一批钢管(大量),质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备. (1)请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据. (2)如果从这批钢管中随机抽取100根,设直径在(60.6,65)内的根数为随机变量ξ.

①求随机变量ξ的数学期望;

②求使P(ξ=k)取得最大值的整数k的值.

附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ