[黄冈中考]备战2012年中考数学 开放型问题的押轴题解析汇编二 人教新课标版

【黄冈中考】备战2012年中考数学——开放型问题的押轴题解析汇

编二

开放型问题

1. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将?PCD绕P点顺时针旋转600后恰好D点与A点重合，得到?PEA,连接EB，问?ABE是什么特殊三角形？请说明理由.

DECPAB

【解题思路】根据旋转及矩形的性质可知AE＝CD＝AB，可得等腰?ABE，进一步由旋

转角是600，猜想此三角形可能是等边三角形.

【答案】解：△ABE是等边三角形.理由如下：????????1分�� 由旋转得△PAE≌△PDC��

∴CD=AE，PD=PA,∠1=∠2????????????3分��

∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形????????????4分�� ∴∠3＝∠PAD＝60°.��

由矩形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°.��

∴∠1＝∠4＝∠2＝30°????????????6分�� ∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠2+∠4＝60°,��

∴△ABE为等边三角形 ????????????7分

【点评】此类试题是猜想与证明两部分组成，解答时，首先是猜想结论，即同学们根据自己学过的知识经过严格合理地推理，得出一个正确的判断；然后证明，就是根据题目的要求，把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来.

2. （2011湖北襄阳，25，10分）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B

重合），连接PO并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．

（1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当

APAB的值等于多少时，△PFD～△BFP？并说明理由．

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【解题思路】解决（1）（2）两问，由旋转发现∠DPE＝90°，DP＝PE，进而构造全等三角形是关键；（3）可由△PFD～△BFP产生比例线段，再结合△ADP～△BPF思考． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP+∠APD＝90°． ∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠EPB＝90°，

∴∠ADP＝∠EPB．

（2）如下图，过E点作EG⊥AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90°．

又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP． ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG． ∴AP＝EG＝BG．

∴∠CBE＝∠EBG＝45°． （3）法1：当

APAB12＝时，△PFD～△BFP．

∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF， ∴△ADP～△BPF． 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝∴PD＝AD2?AP2＝5212a，∴BF＝BP×

APAD＝

5414a．

PBPDa，PF＝PB2?BF2＝a．∴＝

BFPF＝55．

又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△PFD～△BFP． 法2：假设△PFD～△BFP，则

PDPF＝

PBBF．

∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP～△BPF． ∴∴

PDPFPBBF＝＝

APBFAPBF． ．

APAB∴PB＝AP．∴＝

12时，△PFD～△BFP．

【点评】本题属于直线形几何综合问题，主要考查了正方形，全等三角形，相似三角形，勾股定理等知识．（1）问简单基础，学生普遍会做；（2）问由E点作AB的垂线是较为简捷的思路；（3）是条件开放探究性问题，解决时需要“执果索因”，从后向前思考．难度较大．

25．（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂

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2

?

足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数). 试探究线段EF与EG的数量关系.

(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是

证明:

(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)

【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出EF与EG的数量关系。

【答案】(1)相等。如,14.2，当m=1,n=1时,△ACB是等腰直角三角形，E为AC中点，作EM⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为M、N，EM、EN为中位线，∴△EFM≌△ENG,∴EF=EG.

（2）EF:EG=1：n。作EM⊥AB,EN⊥CD,垂足分别为M、N，m=1, △ACB是等腰直角三角形，△EFM∽△ENG,∴EF:EG=EM:EN=AE:EC,∴EF:EG=AE:nAE=1:n.

【点评】本题是属于图形演变、规律探索性题目，找准基础图形，作出辅助线，确定三角形全等或相似关系，列出关系式，是解题的关键。本题难度较大。

24．（2011湖北随州，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线

y?14x交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．

2⑴求b的值．

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⑵求x1?x2的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

y F M O l M1 F1 第24题图

N x N1

【思路分析】（1）将F（0，1）代入直线解析式y=kx＋b，即可求出b=1；

（2）因为M（x1，y1）和N（x2，y2），是两个图象的交点，所以它满足两个函数解析式，即?y?kx?112?满足?这样就得到方程x?kx?1?0，然后根据根与系数关系即可得到x1?x212，

4y?x??4的值；

（3）通过分析图形的特点，可利用三角形相似证明△M1FN1是直角三角形，由F1M1?F1N1=－x1?x2=4，FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，所以

F1FF1M1?F1N1F1F,所以可证明Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，

由此可得∠M1F1F=∠M1FN1=90°，即△M1FN1是直角三角形； （4）证明圆心P到直线y=－1的距离等于圆的半径，即证明PQ=位线定理证明即可. 【答案】解：⑴b=1

?1?y?kx?x?x1?x?x2?⑵显然?和?是方程组?12的两组解，解方程组消元得

y?yy?yy?x?1?2??414x?kx?1?0，依据“根与系数关系”得x1?x2=－4

212MN，然后利用梯形的中

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