数学建模问题研究报告

数学建模问题研究报告

姓名:mm 学号：mm 专业：土木工程 日期：2011年5月31

日

研究问题：

某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时所得到的钢管都是19m。

（1）现有一客户需要50根4m，20根6m和15根8m的钢管，应如何下料最节省？

（2）零售商如果采用不同的切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同的切割模式不能超过3种。此外该客户需要（1）种的三种钢管外，还需要10根5m的钢管，该如何下料最节省？

摘要

我们就钢管切割问题的切割方案进行研究，本文通过对问题的分析和合理的假设，采用规划的理论建立了单目标的线性整数规划模型。，运用LINGO软件得到了全局最优解，对此类问题的求解提供了一种较优的方案。

对于问题（1），由于钢管规格仅有三种，我们在研究其切割方式时应用枚举法将可能的切割方式一一列出，再根据目标函数比较各种切割方式的优劣。对于问题（2），由于钢管规格增加了一种，使枚举法的工作量大大增加，这时我们可以建立整数线性规划模型，采用LINGO软件进行数学求解。

最后，对模型的优缺点进行了分析，并给出了模型的改进意见，对解决实际问题具有一定的指导意义。

关键词：钢管切割方式 枚举法 线性整数规划模型

1.问题分析

对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将19m的钢管切割成3根长4m的钢管，余料为7m；或者将长19m的钢管切割成长4m、6m和8m的钢管各1根，余料为1m。显然，可行的切割模式是很多的。

其次，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式通常还假设余料不应大于或等于客户需要钢管的最小尺寸。例如，将长19m的钢管切割成3根4m的钢管是可行的，但余料为7m，可进一步将7m的余料切割成4m钢管（余料为3m），

或者将7m的余料切割成6m钢管（余料为1m）。经过简单的计算可知，问题1）的合理切割模式一共有7种，如表3所示：

表3 钢管下料问题1）的合理切割模式

模式 1 2 3 4 5 6 7

于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。

4m钢管根数 4 3 2 1 1 0 0 6m钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8m钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料/m 3 1 3 3 1 1 2

2.模型建立与假设

问题1） 用xi表示按照表3第i种模式（i=1,2,…,7）切割的原料钢管的根数，若以切割后剩余的总余料量最小为目标，则按照表3最后一列可得 minZ1 = 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 (1) 若以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有

MinZ2 = x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 (2) 约束条件为客户的需求，按照表3应有

4x1+3x2+2x3+x4+x5 ≥ 50 (3) x2+2x4+x5+3x6 ≥ 20 (4) x3+x5+2x7 ≥ 15 (5)

最后，切割的原料钢管的根数xi显然应当是非负整数（用Z表示整数集合，Z+表示非负整数集合）：

xi ∈ Z+ ， i=1,2,…,7 (6)

于是，问题1）归结为在约束条件（3）～（6）下，使目标（1）或目标（2）达到最小。显然这是线性整数规划模型。

问题2） 如果按照问题1）的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些切割模式是合理的，并从中选出不超过3种模式。而由于需求的钢管规格增加到4种，所以枚举法的工作量较大。下面应用一种带有普遍性的方法，可以同时确定切割模式和切割数量。

同问题1）一样，只使用合理的切割模式，其余料不应大于3m（因为客户需要的钢管最小尺寸为4m，而本题中参数都是整数）。

由于不同切割模式不能超过3种，可以用用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3）切割的原料钢管的根数。又设使用第i种切割模式下每根原料钢管生产长4m、5m、6m和8m的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i。 仅以使用的原料总根数最少为目标，即

Min x1+x2+x3 (7) 满足客户需求的约束条件为

r11.x1+r12.x2+r13.x3 ≥ 50 (8) r21.x1+r22.x2+r23.x3 ≥ 10 (9) r31.x1+r32.x2+r33.x3 ≥ 20 (10) r41.x1+r42.x2+r43.x3 ≥ 15 (11)

每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过19m，也不能少于16m（余料不能大于3m），于是

16≤4r11+5r21+6r31+8r41 ≤19 (12) 16≤4r12+5r22+6r32+8r42 ≤19 (13) 16≤4r13+5r23+6r33+8r43 ≤19 (14) 最后，加上非负整数约束：

xi，rji ∈ Z+ ， i=1,2,3, j=1,2,3,4 (15)

于是，问题2）归结为在在约束条件（8）～（15）下，求xi和r1i，r2i，r3i，r4i（i=1,2,3）使目标（7）达到最小。显然这是线性整数规划模型。

3.用LINGO求解整数规划