第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（二）

点评： 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．

17．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

考点： 矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，再证得对角线相等即可证得． 解答： 解：四边形ABCD是矩形， 理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高， ∴EC=CD， ∵四边形ABEC是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC=BE，BE=BD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形．

点评：

18．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：AC=BE； （2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．

本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形．

考点： 矩形的判定；平行四边形的性质． 专题： 几何图形问题；证明题． 分析： （1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；

（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵CE=DC， ∴AB=EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC=BE；

（2）∵AB=EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴FA=FE，FB=FC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D， 又∵∠AFC=2∠D， ∴∠AFC=2∠ABC， ∵∠AFC=∠ABC+∠BAF， ∴∠ABC=∠BAF， ∴FA=FB， ∴FA=FE=FB=FC， ∴AE=BC， ∴四边形ABEC是矩形． 点评： 此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．

19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．

考点： 菱形的判定． 专题： 证明题． 分析： 根据MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，先推得四边形MDPE为平行四形，再根据AB=AC，M是BC的中点，得到MD=ME，由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明． 解答： 证明：四边形MDPE为菱形，理由： 连接AM． ∵ME⊥AC，DF⊥AC， ∴ME∥DF， ∵MD⊥AB，EG⊥AB， ∴MD∥EG， ∴四边形MDPE是平行四边形； ∵AB=AC，M是BC的中点，

∴AM是角平分线， ∴MD=ME， ∴四边形MDPE为菱形．

点评： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分．

20．如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

考点： 菱形的判定；平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形性质推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根据AAS证△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可． 解答： 证明：：四边形AECF的形状是菱形， 理由是：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO， ∵EF过AC的中点O， ∴OA=OC， 在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE=OF， ∵OA=CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 点评： 本题考查了平行线性质，平行四边形的性质，矩形、菱形的判定等知识点的应用，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，具有一定的代表性，但难度不大．

21．如图所示，?ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？

考点： 菱形的判定． 专题： 证明题． 分析： 要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明其四边相等即可． 解答： 解：四边形AFCE是菱形． ∵点E在AC的垂直平分线上， ∴AE=EC．

同理，AF=FC． ∴∠1=∠3． 又∵AE∥FC， ∴∠1=∠2． ∴∠2=∠3． 又∵CO⊥EF， ∴∠COF=∠COE=90°， ∴△COF≌△COE． ∴CF=CE． ∴AE=EC=CF=FA． ∴四边形AFCE是菱形．

点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分．

22．在△ABC中，点O是AC边上一动点，点P在BC延长线上，过点O的直线DE∥BC交∠ACB与∠ACP的平分线于点D、E．

（1）点O在什么位置时，四边形ADCE是矩形？说明理由．

（2）在（1）的条件下，当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？为什么？

考点：

正方形的判定；矩形的判定．