第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（二）

第十九章矩形，菱形与正方形章末测试（二）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．对角线相等且互相平分的四边形是（ ） A． 一般四边形 B．平行四边形 C．矩形 D． 菱形

考点： 矩形的判定． 分析： 根据矩形的判定（矩形的对角线相等且互相平分）可得C正确． 解答： 解：因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形， 所以C正确， 故选C． 点评： 本题考查的是矩形的判定定理（矩形的对角线相等且互相平分），难度简单．

2．下列说法中不能判定四边形是矩形的是（ ）

A． 四个角都相等的四边形 B． 有一个角为90°的平行四边形 C． 对角线相等的平行四边形 D． 对角线互相平分的四边形

考点： 矩形的判定． 专题： 常规题型． 分析： 矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断． 解答： 解：根据矩形的判定，可得A、B、C可判定四边形为矩形，D不能． 故选D． 点评： 本题考查的是矩形的判定以及矩形的定理，难度简单． 3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是（ A． 任意四边形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形

考点： 矩形的判定． 分析： 由一组对边平行且相等可得其为平行四边形，再由一角为90°且邻边不等可得其为矩形． 解答： 解：如图所示， ∵AC=AE，AB=AD ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° ∠ABC=∠ACB ∴∠ABC+∠EBA=90° ∴四边形BCDE为矩形． 故选B．

）

点评： 熟练掌握矩形的判定，会证明一个四边形是矩形所满足的条件．

4．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ） A． 对角线互相平分

B．AB=BC

C．AB=AC

D．

∠A+∠C=180°

考点： 矩形的判定． 分析： 根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角即可． 解答： 解：答案D中∠A与∠C为对角，∠A=∠C，又∠A+∠C=180°， ∴∠A=∠C=90°，又四边形为平行四边形，所以可得其为矩形；故该选项正确， 故选D． 点评： 本题考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

5．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）

A． 2

B．

C．1

D．

考点： 菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 专题： 计算题． 分析： 因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2． 解答： 解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半， 在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2， 所以面积为2． 故选：A． 点评： 本题考查了菱形的判定与性质，属于基础题，关键是掌握在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半．

6．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A． AC⊥BD，AC与BD互相平分 B． AB=BC=CD=DA C． AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D． AB=CD，AD=BC，AC⊥BD

考点： 菱形的判定． 分析： 直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 解答： 解：A、∵AC与BD互相平分，

∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形，故正确； B、∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD为菱形，故正确； C、AB=BC，AD=CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故错误； D、∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形，故正确； 故选C． 点评： 此题考查了菱形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．

7．已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（ ） A． AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AC平分∠BAD

考点： 正方形的判定． 分析： 由四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，可判定四边形ABCD是菱形，又由AC=BD，即可判定四边形ABCD是正方形．注意掌握排除法在选择题中的应用． 解答： 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故错误； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形，故错误； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形，故正确； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC平分∠BAD， ∴四边形ABCD是矩形，故错误． 故选C． 点评： 此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记判定定理是解此题的关键． 8．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ） A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D． 2cm，3cm，5cm

考点： 正方形的判定与性质． 分析： 连接OA，OB，OC，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO， ∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因为点O到三边AB、AC、BC的距离是CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=10，解得CD=2，所以点O到三边AB、AC、BC的距离为2． 解答： 解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO， ∴BD=BF，CD=CE，AE=AF， 又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点 ∴四边形OECD是正方形，

则点O到三边AB、AC、BC的距离=CD， ∴AB=8﹣CD+6﹣CD=﹣2CD+14，又根据勾股定理可得：AB=10， 即﹣2CD+14=10 ∴CD=2，

即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm． 故选A

点评： 本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．

二．填空题（共6小题） 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A= 90 度时，就能推出四边形ABCD是矩形．

考点： 矩形的判定． 专题： 推理填空题． 分析： 矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析可得． 解答： 解：∵四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵有一个角为90°的平行四边形是矩形， ∴添加∠A=90°就能推出四边形ABCD是矩形， 故答案为：90． 点评： 本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形．

10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 矩形 ．

考点： 矩形的判定；平行线的性质． 专题： 几何图形问题；推理填空题． 分析： 首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形． 解答： 证明：∵MN∥PQ， ∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，