2012年概率论与数理统计试题及答案

七、（10分） 设X1,X2,,Xn是来自总体F(x,?)的一个样本，?n(X1,n??n??,Xn)是?的一个估计量，若

22且limkn?lim?n?0 E?n???kn,D?n??n试证?n是?的相合（一致）估计量。 证 由契贝晓夫不等式，对任意的??0有 P(|?n???kn|??)?D?n?2-------------------------------------------------------5分

2?n?0 于是 0?limP(|?n???kn|??)?limn??n???即 ?n依概率收敛于?，故?n是?的相合估计。--------------------------------------10分

八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：x=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（??0.05）.正态分布表如下

x 0 1.56 1.96 2.33 3.1

Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999

解 问题是在?2已知的条件下检验假设H0：?0=26 查正态分布表，1－

?2=0.975,

?1??2=1.96---------------5分

1u1=1.08＜1.96, 应当接受H0，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分 06-07-1《概率论与数理统计》试题A 一、填空题（每题3分，共15分）

1. 设A，B相互独立，且P(A?B)?0.8,P(A)?0.2，则P(B)?__________. 2. 已知X~N(2,?2)，且P{2?X?4}?0.3，则P{X?0}?__________.

3. 设X与Y相互独立，且E(X)?2，E(Y)?3，D(X)?D(Y)?1，则E[(X?Y)2]?___ 4.设X1,X2,2,Xn是取自总体N(?,?)的样本，则统计量

1?2?(Xi?1ni??)2服从__________分布.

5. 设X~B(2,p),Y~B(3,p)，且P{X?1}?一、1. 0.75；2. 0.2；3. 3；4. ?(n)；5. 二、选择题（每题3分，共15分）

25，则P{Y?1}?__________. 919 271. 一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】

a(a?1)a? . (A) a?1；(B) ；(C) a；(D) ???a?ba?b?1(a?b)(a?b?1)?a?b?2c1?x?32. 设随机变量X的概率密度为p?x???则方差D(X)= 【 】 ??0, 其他(A) 2； (B)

11； (C) 3； (D) . 233． 设A、B为两个互不相容的随机事件，且P?B??0，则下列选项必然正确的是【 】

?A?P?A??1?P?B?；?B?P?AB??0；?C?P?AB??1；?D?P?AB??0．

4. 设f?x??sinx是某个连续型随机变量X的概率密度函数，则X的取值范围是【 】

37

?A???0,???2??； ?B??0,2??3?????????； ?C???,D； ． ?,???222????5. 设X~N?,???，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0，

a2?2?b2； ?B?Na??b,a2?2?b2； a2?2a2?2．

则Y~【 】 ?A?Na??b,??C?N?a??b,??； ?D?N?a??b,???二、1、 (C)；2、 (D)；3．?B?；4、?A?；5、?D? 三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.

、解：设A表示事件“甲命中目标”，B表示事件“乙命中目标”，则A?B表示“目标被命中”，且 06-07-1《概率论与数理统计》试题A 一、填空题（每题3分，共15分）

1. 设A，B相互独立，且P(A?B)?0.8,P(A)?0.2，则P(B)?__________. 2. 已知X~N(2,?2)，且P{2?X?4}?0.3，则P{X?0}?__________.

3. 设X与Y相互独立，且E(X)?2，E(Y)?3，D(X)?D(Y)?1，则E[(X?Y)2]?___ 4.设X1,X2,12,Xn是取自总体N(?,?)的样本，则统计量2??(Xi?1ni??)2服从__________分布.

5. 设X~B(2,p),Y~B(3,p)，且P{X?1}?一、1. 0.75；2. 0.2；3. 3；4. ?(n)；5. 二、选择题（每题3分，共15分）

25，则P{Y?1}?__________. 919 271. 一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】

a(a?1)a? . (A) a?1；(B) ；(C) a；(D) ??a?b?a?ba?b?1(a?b)(a?b?1)??2c1?x?32. 设随机变量X的概率密度为p?x???则方差D(X)= 【 】 ?0, 其他?(A) 2； (B)

11； (C) 3； (D) . 233． 设A、B为两个互不相容的随机事件，且P?B??0，则下列选项必然正确的是【 】

?A?P?A??1?P?B?；?B?P?AB??0；?C?P?AB??1；?D?P?AB??0．

4. 设f?x??sinx是某个连续型随机变量X的概率密度函数，则X的取值范围是【 】

?A???0,???2??； ?B??0,2??3?????????； ?C???,D?,； ． ???222????5. 设X~N?,???，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0，

a2?2?b2； ?B?Na??b,a2?2?b2； a2?2a2?2．

则Y~【 】 ?A?Na??b,??C?N?a??b,??； ?D?N?a??b,???二、1、 (C)；2、 (D)；3．?B?；4、?A?；5、?D? 三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.

38

、解：设A表示事件“甲命中目标”，B表示事件“乙命中目标”，则A?B表示“目标被命中”，且 P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)P(B) ?0.5?0.4?0.5?0.4?0.7 所求概率为P(B/AB)?P[B(AB)]

P(AB)?P(B)0.4??0.57

P(AB)0.7A，求：

ex?e?x四、（本题满分12分）设随机变量X的密度函数为f(x)?（1）常数A； （2）P{0?X?解：（1）由???f(x)dx?1，即

??1ln3}； （3）分布函数F(x). 2??Aexx???ex?e?xdx?A????1?(ex)2dx?A?arctane????????2A?1

所以A?2?.

ln3ln31dx21ex??2122???0dx （2）P?0?X?ln3????0x?xx22??e?e1?(e)??（3）分布函数F(x)????x2????1????

???34?62xdt2f(t)dt?????t?arctanex ?t??e?e?2?arctane?1x2ln30?6x(1?x),0?x?1五、（本题满分10分）设随机变量X的概率密度为f?x???

0,其他?求Y?2X?1的概率密度.

y?1y?1??FY(y)?P{Y?y}?P?2X?1?y??P?X??????2fX(x)dx

2??y?1?0即y?1时，FY(y)?0； 2y?1y?11当0??1即1?y?3时，FY(y)??026x(1?x)dx?(y?1)2(4?y)；

421y?1当?1即y?3时，FY(y)??06x(1?x)dx?1；

20,y?1??3?1?(y?1)(3?y),1?y?32即FY(y)??(y?1)(4?y),1?y?3 所以fY(y)??4

?4?0,其他?1,y?3?当

六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）P?Y?X?. 解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且

1?1?P?X?0,Y?3?????，

8?2?P?X?1,Y?1??C1333?1??1??????，

8?2??2?2 39

P?X?2,Y?1??C23?1??1?3?????， ?2??2?8321?1?P?X?3,Y?3?????.

8?2?于是，（1）（X，Y）的联合分布为

Y X 0 1 2 3 （2）P?Y?X??P?X?0,Y?3??1 0 3 1 80 0 3 83 80 1 81. 8七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?Ae?(x?2y),x?0,y?0 f(x,y)??0,其他?求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。

解：（1）由1???????f(x,y)dxdy??0???????????0??Ae?(x?2y)dxdy

?A?0e?xdx?0e?2ydy?所以A?2.

1A 2???e?x x?0（2）X的边缘密度函数：fX(x)??f(x,y)dy??.

??0,其他????2e?2y y?0Y的边缘密度函数：fY(y)??f(x,y)dx??.

??其他?0,（3）因f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的.

八、（本题满分10分）设总体X的密度函数为

???,x?1 f(x,?)??x??1?x?1?0,其中未知参数??1，X1,X2,?,Xn为取自总体X的简单随机样本，求参数?的矩估计量和极大似然估计量. 解：E(X)????????xf(x)dx???1x??x??1dx????1

令EX?X，即

??1???X，得参数?的矩估计量为?X X?1??n,xi?1(i?1,2,?,n)?n??1n??似然函数为L(?)??f(xi,?)????xi? ?i?1??i?1??0,其他?当xi?1(i?1,2,?,n)时，L(?)?0，

40