2016 朝阳高三一模 数学 理 解析

（Ⅰ）若b1?a1=2,且等比数列{bn}的公比最小， （ⅰ）写出数列{bn}的前4项； （ⅱ）求数列{kn}的通项公式；

（Ⅱ）证明：以b1?a2?5为首项的无穷等比数列{bn}有无数多个. 解析：

解：（Ⅰ）观察数列{an}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，

32，35，….

因为数列{an}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是小公比是4.

（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.

n?1 （ⅱ）由（ⅰ）可知b1?2，公比q?4，所以bn?2?4.

n?1? 又bn?akn?3kn?1，所以3kn?1?2?4,n?N，

5，最2 即kn?1(2?4n?1?1),n?N?. 3再证kn为正整数. 显然k1?1为正整数，

11n?2时，kn?kn?1?(2?4n?1?2?4n?2)??2?4n?2(4?1)?2?4n?2，

33 即kn?kn?1?2?4n?21(n?2)，故kn?(2?4n?1?1),n?N?为正整数.

3 1n?1? 所以，所求通项公式为kn?(2?4?1),n?N.

3 ……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设数列{cn}是数列{an}中包含的一个无穷等比数列， 且c1?ak1?5，c2?ak2?3k2?1， 所以公比q?3k2?1.因为等比数列{cn}各项为整数，所以q为整数. 5n?1取k2?5m?2（m?N?），则q?3m?1，故cn?5?(3m?1).

只要证cn?5?(3m?1)n?1是数列{an}的项，即证3kn?1?5?(3m?1)n?1.

n?1只要证kn?[5(3m?1)?1](n?N?)为正整数，显然k1?2为正整数.

13n?1n?2n?2又n?2时，kn?kn?1?[(3m?1)?(3m?1)]?5m(3m?1)，

53即kn?kn?1?5m(3m?1)n?2，又因为k1?2，5m(3m?1)n?2都是正整数，

故n?2时，kn也都是正整数.

所以数列{cn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，

其公比q?3m?1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故数列{an}所包含的以a2?5为首项的不同无穷等比数列有无数多个. …………………………………………………………………………………………13分