广西省玉林市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析

【点睛】

本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.

20．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，?ABC?120?，AB?AE?ED?2EF，

EF//AB，二面角E?AD?B为直二面角.

（Ⅰ）证明：BD?FC；

（Ⅱ）求二面角A?CF?B的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）连接AC,BD交于点O，取AD中点M，连结EM,OM,OF，证明BD?平面OFC得到答案. （Ⅱ）分别以OA,OB,OF为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面BCF的法向量为

15 5rurn?(?1,3,1)，平面ACF的法向量为m?(0,1,0)，计算夹角得到答案.

【详解】

（Ⅰ）连接AC,BD交于点O，取AD中点M，连结EM,OM,OF. 因为ABCD为菱形，所以AC?BD. 因为AE?ED，所以EM?AD.

因为二面角E?AD?B为直二面角，所以平面EAD?平面ABCD，

且平面EADI平面ABCD?AD，所以EM?平面ABCD,所以EM?BD 因为OMPAB,OM?11AB,EFPAB,EF?AB,OMPEF,OM?EF,

22所以OMEF是平行四边形，所以EMPOF.

所以BD?OF，所以ACIOF＝O，所以BD?平面OFC， 又FC?平面OFC，所以BD?FC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知OA,OB,OF两两垂直，分别以OA,OB,OF为x,y,z轴 建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB?2,则B(0,1,0),C(?3,0,0),F(0,0,3), ?BC?(?3,?1,0),BF?(0,?1,3),

uuuruuurvvuuu?rn?BC?0??3z?y?0v??设平面BCF的法向量为n?(x,y,z)，由?vuuu， n?BF?0???3x?y?0r取z?1,?n?(?1,3,1).

rurrurur|n?m|15r?|cos?n,m?|?ru. 平面ACF的法向量为m?(0,1,0) ?5|n||m|所以二面角A?CF?B余弦值为【点睛】

本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 21．已知函数f(x)?x2?2xlnx，函数g(x)?x?且g?x0??2.

（1）讨论f(x)的单调性 （2）求实数x0和a的值

15. 5a?(lnx)2，其中a?R，x0是g(x)的一个极值点，x（3）证明

?k?1n14k2?1?1ln(2n?1)2?n?N?

*【答案】（1）f?x?在区间?0,???单调递增；（2）x0?1,a?1；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）求出f'?x?，在定义域内，再次求导，可得在区间?0,???上f'?x??0恒成立，从而可得结论；（2）

22由g'?x??0，可得x0?2x0lnx0?a?0，由g?x0??2可得x0?x0?lnx0??2x0?a?0，联立解方程

22组可得结果；（3）由（1）知f?x??x?2xlnx在区间?0,???单调递增，可证明x?1?lnx，取xx?2k?12k?12k?1,k?N*，可得??ln(2k?1)?ln(2k?1)，而2k?12k?12k?12k?12k?12??，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.

22k?12k?14k?1【详解】

?（1）由已知可得函数f?x?的定义域为?0,???，且f(x)?2x?2lnx?2，

令h?x??f'?x?，则有h'(x)?2?x?1?x，由h'?x??0，可得x?1，

可知当x变化时，h'?x?,h?x?的变化情况如下表：

x ?0,1? - 1 ?1,??? + h'?x? h?x? 0 ] 极小值 Z ?h?x??h?1??0，即f'?x??0，可得f?x?在区间?0,???单调递增；

（2）由已知可得函数g?x?的定义域为?0,???，且g(x)?1??2由已知得g'?x??0，即x0?2x0lnx0?a?0，①

a2lnx?， x2x2由g?x0??2可得，x0?x0?lnx0??2x0?a?0，②

2联立①②，消去a，可得2x0??lnx0??2lnx0?2?0，③ 令t(x)?2x?(lnx)?2lnx?2，则t'(x)?2?222lnx22(x?lnx?1)??， xxx由（1）知，x?lnx?1?0，故t'?x??0，?t?x?在区间?0,???单调递增， 注意到t?1??0，所以方程③有唯一解x0?1，代入①，可得a?1，

?x0?1,a?1；

（3）证明：由（1）知f?x??x?2xlnx在区间?0,???单调递增，

2x2?2xlnx?1f(x)?1故当x??1,???时，f?x??f?1??1，g(x)???0， 22xx?可得g?x?在区间?1,???单调递增，

11??22因此，当x?1时，g?x??g?1??2，即x??(lnx)?2，亦即?x?， ?(lnx)?xx??这时x?2112k?1?lnx，取x??0,lnx?0，故可得x?,k?N*， x2k?1x可得n2k?12k?122k?12k?1??，而， ??ln(2k?1)?ln(2k?1)22k?12k?12k?12k?14k?1故

?k?1n24k?112??(ln(2k?1)?ln(2k?1))?ln(2??1)

k?1n??i?11?ln(2x?1)(n?N?).

4k2?12【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

x2y20),F2(1，0)分别是椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为22．已知F1(?1，abuuuur1uuur5、B是椭圆C上两点，点M满足BM?BA. ,A25(1)求C的方程；

(2)若点M在圆x?y?1上，点O为坐标原点，求OA?OB的取值范围.

22uuuruuur?1111?x2y2【答案】（1）（2）??,??. ??1；

5??454【解析】 【分析】

（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中a,b,c的关系，即可求得a,b,c的值，进而得椭圆的标准方程. （2）设出直线AB的方程为y?kx?m，由题意可知M为AB中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出x1?x2,x1x2，由判别式???可得5k2?4?m2；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简

uuuruuurr2uuuruuur1uuuOA?OB可得OA?OB?1?AB，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M的坐标，代入圆的方

4程x?y?1，化简可得

22m25k??2?4?225k2?16，代入数量积公式并化简，由换元法令t?k2?1，代入可得