广西省玉林市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析

（1）求AC； （2）若D??3，求?ACD面积的最大值.

【答案】（1）1；（2）【解析】 【分析】

3 4（1）AE?x，在?BCE和?ABE中分别运用余弦定理可表示出cos?BCA，运用算两次的思想即可求得x，进而求出AC；

（2）在?ADC中，根据余弦定理和基本不等式，可求得CD?AD?1，再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性，求出?ABC的面积的最大值． 【详解】

（1）由题设AE?x，则AC?2x 在?BCE和?ABE中由余弦定理得：

13CE2?BC2?BE2AC2?BC2?AB24?x2?2，即cos?BCA??4?4?4x?3

2CE?BC2AC?BC4x8x1解得x?，∴AC?2x?1

2（2）在?ACD中由余弦定理得AC2?CD2?AD2?2CD?ADcosD， 即1?CD2?AD2?CD?AD?CD?AD，∴CD?AD?1

S?ACD?133 CD?ADsinD?CD?AD?2443，此时CD?AD?1. 4所以?ACD面积的最大值为【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

18．已知函数f(x)?x?bx?alnx(a?0，b?R).

（1）设b?a?2，若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1?x2?1，求证：f(x1)?f(x2)?3?4ln2；（2）设g(x)?xf(x)，g(x)在[1,e]不单调，且2b?底数）.

21?4e恒成立，求a的取值范围.（e为自然对数的a?e2?e4?8ee2?e4?8e?，?. 【答案】（1）证明见解析；（2）?44????【解析】 【分析】

（1）先求出f??x?，又由x1?x2?1可判断出f(x)在?1,?上单调递减，故

2?a???f?x1??f?x2?即可；

aa2a2??aln?1，令t??2，记h?t??t?2tlnt?1， 利用导数求出h?t?的最小值

24223x?alnx?a（2）由g(x)在?1,e?上不单调转化为g?(x)?0在?1,e?上有解，可得2b?，令

xF?x??3x?【详解】

a?alnx1?，分类讨论求F?x?的最大值，再求解F?x?max?4e即可. xa（1）已知b?a?2(a?0),f(x)?x?bx?alnx，

2a(x?1)(2x?a)?， xxa，x2?， 由f?(x)?0可得x1?12?f?(x)?2x?b?又由x1?x2?1,知

a?2 2?a??f(x)在?1,?上单调递减，

?2??f?x1??f?x2?令t?2a?a?a?f?1??f????aln?1

2?2?4a?2，记h?t??t2?2tlnt?1，则h??t??2t?2lnt?2 222(t?1)+??上单调递增； ?h??(t)?2???0?h?(t)在?2，tt?h?(t)?h?(2)?2(1?ln2)?0，?h(t)在?2，+??上单调递增；

?h(t)?h(2)?3-4ln2?0，

?f(x1)?f(x2)?3?4ln2

32（2）g(x)?x?bx?axlnx，?g?(x)?3x?2bx?alnx?a，

2Qg(x)在?1,e?上不单调，

?g?(x)在?1,e?上有正有负，?g?(x)?0在?1,e?上有解，

3x2?alnx?a，x?(1,e)， ?2b?xQ2b?1?4e恒成立， a3x2?alnxa?alnx1?3lnx??a?，则F??x??记F?x??3x???2?， 2xxa?ax?记G(x)?lnx1?2lnx??G(x)?，， 23xx?G(x)在1,e上单调增，在G(x)max?G(e)?于是知 （i）当

???e,e上单调减.

?1 2e31?即a?6e时，F?(x)≥0恒成立，F?x?在?1,e?上单调增， a2e2a1?F?e??3e???4e，

ea22e2?e4?8ee2?e4?8e. ?2a?ea?e?0，??a?44（ii）当a?6e时，

F??e?3e?3a13?6e??3e??12e?4e，故不满足题意. 2ea2e?e2?e4?8ee2?e4?8e?，? 综上所述，a??44????【点睛】

本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 19．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从A,B,C,D,E五所高校中任选2所．

（1）求甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率；

（2）若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A校，另在B,C,D,E四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所． （i）求甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率；

（ii）记X为甲、乙、丙三名同学中选D高校的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1）【解析】 【分析】

9821 （2） （i）（ii）分布列见解析，E(X)?12520100（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解； （2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；

（ii）X?0,1,2,3，利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解. 【详解】

（1）甲从A,B,C,D,E五所高校中任选2所，共有AB,AC,AD,AE,BC,BD,

BE,CD,CE,DE共10种情况，

甲、乙、丙同学都选D高校，共有AD, BD, CD, DE四种情况， 甲同学选D高校的概率为

42?， 1052, 5因此乙、丙两同学选D高校的概率为因为每位同学彼此独立，

8?2?所以甲、乙、丙三名同学都选D高校的概率为???．

?5?125（2）（i）甲同学必选A校且选D高校的概率为丙未选D高校的概率为

3163，乙未选D高校的概率为?，

105463?，因为每位同学彼此独立， 105所以甲同学选D高校且乙、丙都未选D高校的概率为（ii）X?0,1,2,3，

1339???． 455100因此P(X?0)?333271333239???,P(X?1)???????2?, 455100455455201231323226P(X?2)??????????，

455455455251221P(X?3)????．

45525即X的分布列为

X 0 P 1 2 3 27 1009 206 251 25因此数学期望为

E(X)?0?2796121?1??2??3??． 10020252520