高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

一、课标要求：空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式

及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．

二、教学分析

《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标．．．．．．的转化，进而为后面的立体几何问题的解决服务.但同时，学生已经在之前的必修4中学习．．．

过平面向量的相关知识.

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比，引导学．．生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中．．．．．．．．．．的问题，同时教学过程中，还应注意维度增加所带来的影响.” ．．．．

三、教学目标

知识与技能

1．了解空间向量基本定理；

2．理解空间向量的基底、基向量的概念； 3．理解空间向量的正交分解和坐标表示． 过程与方法

1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；

2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程． 情感、态度与价值观

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1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；

3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．

学情分析：在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面

向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.

本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

我班学生整体基础知识一般，部分学生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。

四．重点难点

重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.

难点：1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；

五、课时安排

1课时

六、教学方法：

为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：

1．教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析

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本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．

七、教学设想

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

（一）课前复习，提出问题；

提出问题：回忆平面向量基本定理的内容，思考平面向量基本定理的作用，平面向量的坐标表示．

活动设计：教师提问旧知，学生回答，思考得出结论． 活动成果：

1．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb.

2．平面向量基本定理的作用：平面内任意两个不共线的向量称为平面向量的一组基底，平面内任一向量都可以用这组基底来唯一地表示．

3．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，选择平面内相互垂直的两个单位向量i，j作为平面向量的基底，任一向量p都存在唯一确定的一对实数(x，y)，使p＝xi＋yj，建立了向量和有序数对的一一对应关系，所以可以用有序数对来表示向量，故把(x，y)称为平面向量p的坐标．

设计意图：巩固学生的认知基础，为探索新知作好准备．

（二）设置情境、激趣导入

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:

在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设

e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．

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问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？ 提示：能．

问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？ 提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.

本情境意图在于利用生活中的消防问题，引入新课，激发学生的学习兴趣，为本节课的学习做好铺垫。

（三）启发引导、探究新知

提出问题1：类比平面向量的基本定理，结合我们刚才看的消防视频，我们能否得到空间向量的基本定理？

活动设计：学生先自己思考，然后小组交流，交流各自的想法；教师指导学生利用空间几何体来研究，并巡视参加学生讨论．

活动成果：

1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.

2．由此定理，若三向量a，b，c不共面，则所有空间向量所组成的集合是{p|p＝xa＋yb＋zc，x∈R，y∈R，z∈R}，这个集合可以看作由向量a，b，c生成的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量．

3．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

设计意图：引导学生探索出空间向量基本定理，学生体会类比、推广思想，尝试、归纳、

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