2017中考数学试题汇编二次函数

2017中考试题汇编--------二次函数

(2017贵州铜仁)25．（14分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）分三种情况：

①当△P1MP2≌△CMB时，取对称点可得点P1，P2的坐标； ②当△BMC≌△P2P1M时，构建?P2MBC可得点P1，P2的坐标；

③△P1MP2≌△CBM，构建?MP1P2C，根据平移规律可得P1，P2的坐标； （3）如图3，先根据直径所对的圆周角是直角，以BC为直径画圆，与对称轴的交点即为点Q，这样的点Q有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明△BDQ1∽△Q1EC，列比例式，可得点Q的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，

解得：

，

1

∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2﹣x﹣2； （2）如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称， ∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC， ∴△P1MP2≌△CMB，

∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣， 此时P1（﹣1，0），

∵B（0，﹣2），对称轴：直线x=， ∴P2（1，﹣2）；

如图2，MP2∥BC，且MP2=BC， 此时，P1与C重合，

∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M， ∴△BMC≌△P2P1M， ∴P1（2，0），

由点B向右平移个单位到M，可知：点C向右平移个单位到P2， 当x=时，y=（﹣）2﹣=， ∴P2（，）；

如图3，构建?MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此时P2与B重合， 由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P1， ∴点P1的横坐标为﹣，

当x=﹣时，y=（﹣﹣）2﹣=4﹣=， ∴P1（﹣，），P2（0，﹣2）；

（3）如图3，存在，

作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2， 则∠BQ1C=∠BQ2C=90°；

2

过Q1作DE⊥y轴于D，过C作CE⊥DE于E， 设Q1（，y）（y＞0）， 易得△BDQ1∽△Q1EC， ∴

，

∴=，

y2+2y﹣=0， 解得：y1=∴Q1（，

（舍），y2=），

）；

）或（，

）．

，

同理可得：Q2（，

综上所述，点Q的坐标是：（，

3

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问

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