等差数列知识点总结和题型分析

等差数列 知识点1、等差数列的定义:

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示

d?0??an?为递增数列；d?0??an?为递减数列；d?0??an?为常数列。 例 1：判断下列是否为等差数列 （1）2,4,6,8,ggg,n,ggg （3）a,a,a,ggg,2?n?1?,2n （2）1,1,2,3,ggg,a,ggg

知识点2、等差中项:

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：A?a?b2或2A?a?b

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.

例 2：若m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，求m和n的等差中项。

知识点3、等差数列的判定方法:

定义法：对于数列?an?，若an?1?an?d(常数)，则数列?an?是等差数列

等差中项：对于数列?an?，若2an?1?an?an?2，则数列?an?是等差数列 知识点4、等差数列的通项公式:

如果等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为 an?a1?(n?1)d 该公式整理后是关于n的一次函数

Ⅰ第一通项公式：an?a1??n?1?d，a1为首项，d为公差 Ⅱ第二通项公式：an?am??n?m?d

Ⅲ第三通项公式：an?pn?q，其中d?p,a1?p?q 特别说明： 1、有数列的首项，与公差，可写出通项公式； 2、有数列的任意两项，可确定通项公式； 3、有数列的通项公式可以求得数列中的任意一项，也可以判定某数是否为数列的项； gg求： 例3：已知等差数列?an?：3,7,11,15,g（1）135,4m?19m?N ???是?a?中的项吗？并说明理由。

n及时演练： gg是等差数列，判断52是否为该数列的项？若是，是第几项？ 1、已知数列?5,?3,?1,1,g gg的第30项； 2、（1）写出数列8,5,2,g

1

（2）已知数列?an?，且a1??1,an?1?an?3n?N?,求数列的第20项 3、已知?an?为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式 （1）a3?5,a7?13；（2）前三项为a,2a?1,3?a 4、若?an?为等差数列，a15?8,a60?20，则a75? 。 5、若等差数列的前三项依次为??151,,，那么这个数列的第101项等于 。 x?16xx

知识点5、等差数列的前n项和: ⑥Sn?n(a1?an)n(n?1)d Sn?na1?22对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数

知识点6、等差数列的性质:

⑦等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，公差为d，则有an?am?(n?m)d

⑧ 对于等差数列?an?，若n?m?p?q，则an?am?ap?aq

也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2??? 特别地，若m?n?2p，则am?an?2ap

⑨若数列?an?是等差数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差数列如下图所示：

????????????S?3k????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k ???????????????????????SkS2k?SkS3k?S2k 10、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn???*?，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，

S奇n（其中S奇?nan，?S偶n?1S奇a?nS偶an?1．②若项数为2n?1n???*?，则SS?S偶?an，2n?1??2n?1?an，且奇． S偶??n?1?an）

及时演练： 1、等差数列?an?中，若a3?a9? 。 2、已知等差数列?an?中，a7?a9?16,a4?1，则a12? 。 3、设?an?为等差数列，若a3?a4?a5?a6?a7?450，则a2?a8? 。

2

1，则a6? ；若a2?a3?a10?a11?48，则a6?a7? 2 4、设?an?，?bn?都为等差数列，且a1?26,b1?75,a2?b2?100，则a37?b37? 。 5、已知数列?an?是等差数列，若a1?a5?a9?a13?a17?117，则a3?a15? 。 二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2

2．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （ ）

A．49

B．50 C．51 D．52

3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）

A．92 B．47 C．46 D．45 4、已知等差数列{an}中，a7?a9?16,a4?1,则a12的值是( )

( )

C 31 D 64

（ ）

A 15 B 30

5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

888A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3

3336、.在数列{an}中，a1?3，且对任意大于1的正整数n，点(an,an?1)在直线x?y?3?0 上，则

an=_____________.

7、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．

题型二、等差数列性质

1、已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

2、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（ ）

A．8 B．7 C．6 D．5

3、 若等差数列?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,则a7?__________.

4、记等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?4，S4?20，则该数列的公差d=（ ）

A．7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列{an}中，已知a1?1，a2?a5?4，an?33，则n为（ ） 3（A）48 （B）49 （C）50 （D）51

6.、等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若

a55S?,则9?（ ） a39S5 3

A．1 B．－1 C．2 D．

12 8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )

A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51 9、如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d?0，则( ) （A）a1a8?a4a5 （B）a8a1?a4a5 （C）a1+a8?a4+a5 （D）a1a8=a4a5

等差数列练习

1．（2015春?武汉校级期中）+1与﹣1的等差中项是（ ） A．1 B．﹣1 C． D．±1 2．（2015春?双流县校级期中）已知an+1﹣an﹣3=0，则数列{an}是（ ） A．等差数列 B．等比数列

C．摆动数列 D．既等差数列又等比数列 3．（2014春?苍南县校级期末）如果三个数2a，3，a﹣6成等差，则a的值为（ ）A．﹣1 B．1 C．3 D．4 4．（2014春?沙坪坝区校级期中）若实数x为10和90的等差中项，则x的值为（ A．30 B．40 C．50 D．60 5．（2014秋?苍山县期中）已知x+1是5和7的等差中项，则x的值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 6．（2014秋?闽清县校级月考）x+1与y﹣1的等差中项为10，则x+y等于（ ） A．0 B．10 C．20 D．不确定 7．（2013春?金牛区校级期中）数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（ ） A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27 8．（2013秋?宁远县校级月考）已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ A．以7为首项，公差为2的等差数列 B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列 D．不是等差数列 9．（2013春?成都校级月考）已知an=3﹣2n，则数列{an}为（ ） A．首项为3的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公差为﹣2的等差数列 D．公差为﹣2n的等差数列 10．（2011?重庆二模）在等差数列{an}中，a2=4，a6=12，则公差d=（ ） A．1 B．2 C．±2 D．8 11．（2015?漳浦县校级模拟）在等差数列{an}中，a2=5，a6=17，则a14=（ ） A．45 B．41 C．39 D．37

）4

）