中考数学复习练习 第九单元 第9课时 动态型问题

山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学复习练习 第九单元 第9课

时 动态型问题

动态问题一般是指动态几何问题，动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，主要研究的是几何图形的运动中所遵循的规律探索，具体的探索内容是图形的位置、数量关系。图形的运动就其运动方式来说有平移、旋转、翻折和滚动等等；就运动对象而言有点动(点在线段或弧线上运动)、线动（直线或线段的平移、旋转）和面动（部分图形的平移、旋转、翻折）等，而且在运动过程中大多是动中有静，动静结合。

动态几何问题就其知识结构而言，它常常集几何、代数知识于一体，是数形结合的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多变性。几何方面常常涉及全等形、相似形、勾股定理、特殊的四边形和圆，代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标和解直角三角形（三角函数）等。

解这类问题的基本策略是：1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。具体做法是：第一，全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系；第二，应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；第三，在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。 知识点一: 动点问题

例1 （2009·遂宁市）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点. ⑴求证：EF+GH=5cm；

EF⑵求当∠APD=90o时，GH的值．

解析：⑴∵矩形ABCD，AD=10cm， ∴BC=AD=10cm

∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点，

111∴EF+GH=2BP+2PC=2BC，

∴EF+GH=5cm．

⑵∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90o，又∵∠APD=90o， ∴由勾股

定理得

1

AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+(BC-BP)2+2AB2=BP2+(10-BP)2+32, 即100=2BP2-20BP+100+32 解得BP=2或8(cm)

EF1?GH4 当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时EF?4GH当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时

EF1∴GH的值为4或4．

知识点二 动线问题

例2 （2009·东营市） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；

（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

G M D N C A E B 解析：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.

1?2?0.5所以，S△EMN=2=0.5（平方米）.

即△EMN的面积为0.5平方米. ????2分 （2）

2

G G M H N D F C D C M N A E B 图2 E A EBB

图2

①如图1所示，当图1

MN在矩形区域滑动， 即0＜x≤1时，

1△EMN的面积S=2?2?x=x； ②如图2所示，当MN在三角形区域滑动， 即1＜x＜1?3时，

如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，

∵ E为AB中点，

∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝3. 又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

MNGHMN?2[3?1?x]∴ DC?GF，即3．

12[3?1?x故△EMN的面积S＝2?]3?x

＝

?33x2?(1?33)x；

综合可得：

?x，S???0＜x?1????32?3x???1?3?3??x．?1＜x＜1?3????

（3）①当MN在矩形区域滑动时，S?x，所以有0?S?1；

?3②当MN在三角形区域滑动时，S=

3x2?(1?33)x.

x??b1?3因而，当

2a?2（米）时,S得到最大值，

3

32）3134ac?b23?4?（?）3（平方米）. 3=2最大值S=4a=

?（1?13??123∵ ，

13?∴ S有最大值，最大值为23平方米.

知识点三 动形问题

1y??x?12例3 （2009·台州市）如图，已知直线交坐标轴于A，B两点，以线段AB为C的抛物线与直线另一个交点为E． 边向上作正方形ABCD，过点A，D，（1）请直接写出点C,D的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C ,E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

y x 1x?12 解析：（1）由题意，得：C(3,2),D(1,3)；

2y?ax?bx?c，抛物线过(0,1),(3,2),(1,3)， （2）设抛物线为

y?? 4