21.4 二重积分的变量 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文

数学分析第二十一章重积分二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于:定积分定义在区间上,区间的长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上,其面积的计算要复杂得多.§4 二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换*点击以上标题可直接前往对应内容§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换

二重积分的变量变换公式

在定积分的计算中, 我们得到了如下结论:设f(x)在区间[a,b]上连续, x??(t)当t从?变到?时严格单调地从a 变到b, 且?(t)连续可导, 则

??baf(x)dx??f(?(t))??(t)dt.?(1)当???(即??(t)?0)时, 记X?[a,b],Y?[?,?],则

X??(Y),Y??(X).利用这些记号, 公式(1)又可

写成

数学分析第二十一章重积分高等教育出版社?1§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换

??XXf(x)dx???(X)?1f(?(t))??(t)dt.(2)当???(即??(t)?0)时, (1)式可写成

f(x)dx????(X)?1f(?(t))??(t)dt.(3)故当?(t)为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:

?Xf(x)dx???(X)?1f(?(t))|??(t)|dt.(4)下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给

出下面的引理.

数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§4 二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换

引理设变换T:x?x(u,v),y?y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域?, 一对一地映成xy 平面上的闭区域D. 函数x(u,v),y(u,v)在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式?(x,y)J(u,v)??0,(u,v)??,?(u,v)则区域D 的面积

?(D)???|J(u,v)|dudv.?(5)

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