当前位置：首页 > 两种群间的相互竞争
xy?rx(1??s)?01?1n1n2?令 ?
?ry(1?sx?y)?022?n1n2?得到四个奇点以并利用（7）和（8）算得相应的p值和q值如下
11<1>.奇点(x0,y0)?(0,0)
p1??(r1?r2)
q1?r1r2
22<2>.奇点(x0,y0)?(n1,0)
p2?r1?r2(1?s2)
q2??r1r2(1?s2)
33<3>.奇点(x0,y0)?(0,n2)
p3??r1(1?s1)?r2
q3??r1r2(1?s1)
44<4>. 奇点(x0,y0)?(n1(1?s1)n2(1?s2),)
1?s1s21?s1s2
p4?r1(1?s1)?r2(1?s2)
1?s1s2
q4?r1r2(1?s1)(1?s2)
1?s1s2
首先由模型可知，参数r1、r2、s1和s2都是大于0的。
现在我们开始来逐个分析四个奇点，先来讨论<1>.根据常微分方程稳定性理论，
11p1??(r1?r2)?0，因此奇点(x0,y0)?(0,0)是不稳定的。换句话说，两种群是不可能同
时灭绝的。
其次来讨论<2>.
2??p?0令 ?2
??q?0r1?s?1??2r2?s2?1 ???s?1?222这说明在s2?1的条件下，奇点(x0,y0)?(n1,0)是稳定的。换句话说，在s2?1的条件下，
甲种群达到环境所允许的最大数量，乙种群最终会灭亡。 接下来讨论<3>.
3??p?0令 ?3
??q?0r2?s?1??1r1?s1?1 ???s?1?133这说明在s1?1的条件下，奇点(x0,y0)?(0,n2)是稳定的。换句话说，在s1?1的条件下，
乙种群达到环境所允许的最大数量，甲种群最终会灭亡 最后来讨论<4>.
4??p?0令 ?4
??q?0?s,s?1(不满足q?0,因此舍去)??12?0?s1,s2?1 ?0?s1,s2?144这说明在0?s1,s2?1的条件下，奇点(x0,y0)?(n1(1?s1)n2(1?s2),)是稳定的。换句话
1?s1s21?s1s2说，在0?s1,s2?1的条件下，甲乙两种群都会存活下来，它们是以相互依存的方式生存下去的。 现在理论分析告一段落，我们接下来进行下一步：数值解法。
第二部分：数值解法
根据第一部分的理论分析，我们在这里根据第一部分的结果，分别给出不同s1、s2条
件下的数值解。在分情况之前，需对模型中的其他参数给定一个初值，这样更有利于我们接下来的分析，现作如下规定：r1?r2?1，n1?n2?1000，初值x(0)?y(0)?50，接下来我们开始分情况讨论。 情况（一）：s1?0.5,s2?2
利用MATLAB，编写M文件如下
function aaa=bbb(t,x)
r1=1;r2=1;n1=1000;n2=1000;s1=0.5;s2=2;
aaa=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-x(2)/n2-s2*x(1)/n1)])*x;
然后在命令窗口输入如下命令（这里用5级4阶Runge-Kutta-Fehberg公式，并描绘从第0年到第50年的变化趋势） >> ts=0:0.1:50; >> x0=[50,50];
>> [t,x]=ode45(@bbb,ts,x0); >> plot(t,x),grid,
>> gtext('\\fontsize{20}x(t)'),gtext('\\fontsize{20}y(t)')
得到增广相空间中的积分曲线如下（蓝色是x(t)，绿色是y(t)）
12001000x(t)800600400200y(t)0-20005101520253035404550
继续在命令窗口中输入如下命令 >> pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, >> xlabel('x'),ylabel('y')
>> gtext('\\fontsize{20}y=y(x)') 得到相空间中的轨线如下
200150100y=y(x)50y0-500200400600x80010001200
可以看到，s1?0.5,s2?2对应于理论分析中的<2>. 这很好的验证了之前的理论分析，
并且可以看出，在第10年左右的时候甲种群趋于环境所允许的最大数量，而乙种群趋于灭亡。
情况（二）：s1?1.9,s2?0.4
修改M文件如下
function aaa=bbb(t,x)
r1=1;r2=1;n1=1000;n2=1000;s1=1.9;s2=0.4;
aaa=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-x(2)/n2-s2*x(1)/n1)])*x;
保存后直接执行如下命令 >> [t,x]=ode45(@bbb,ts,x0); >> plot(t,x),grid,
>> gtext('\\fontsize{20}x(t)'),gtext('\\fontsize{20}y(t)')
得到增广相空间中的积分曲线如下（蓝色是x(t)，绿色是y(t)）
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