2017届人教A版 二项式定理 圆梦优化测试(1)

2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原理 第3讲 二项式定理练

习 理 新人教A版

基础巩固题组 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1.(2015·广东卷改编)在(x－1)的展开式中，x的系数为( ) A.6

解析 Tr＋1＝C4·(x)答案 A

3a??x－2.(2015·湖南卷)已知??的展开式中含x2的项的系数为30，则a＝( )

x??

54

B.－6

r4－r C.4

2

2

D.－4

·(－1)，令r＝2，则C4(－1)＝6.

rA.3

5

B.－3 C.6 D.－6

5－rr5a??rrr－rrr－rx－解析 ??的展开式通项Tr＋1＝C5x2(－1)a·x2＝(－1)aC5x2，

x??3

5311

令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aC5x2，∴－aC5＝30，∴a＝－6，故选D. 22

答案 D

3.(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a8x，则a1＋a2＋…＋a7的值是( ) A.－2

B.－3

C.125

D.－131

7

2

8

解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2， 又a0＝C712＝1，a8＝C7(－2)＝－128， 所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125. 答案 C

n0

70

7

7

4.二项式?x＋

?x2?

2?的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )

B.90

10

A.180 C.45

rD.360

10－r?2?

解析 依题意n＝10，则?x＋

?x?

2?

2

的通项公式Tr＋1＝C10(x)

r?x?

2

＝2C10xrr5

5－r2

.

522

令5－r＝0，得r＝2.∴展开式中的常数项T3＝2C10＝180.

2答案 A

5.在(1＋x)(1＋y)的展开式中，记xy项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋

1

6

4

mnf(0，3)＝( )

A.45

6

B.60

mmC.120

4

D.210

nn解析 在(1＋x)的展开式中，x的系数为C6，在(1＋y)的展开式中，y的系数为C4，故

n302112

f(m，n)＝Cm6·C4.从而f(3，0)＝C6·C4＝20，f(2，1)＝C6·C4＝60，f(1，2)＝C6·C4＝36，3f(0，3)＝C06·C4＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120，故选C.

答案 C 二、填空题

6

12

6.(2015·天津卷)在?x－?的展开式中，x的系数为________.

?4x?

6

rr1116－2rr6－rr解析 ?x－?的展开式的通项Tr＋1＝C6x?－?＝C6?－?x，

?4x??4x??4?

2

11522

当6－2r＝2时，r＝2，所以x的系数为C6?－?＝. ?4?16答案

15 16

n7.(2016·河南八校三联)?

?

1

x＋?的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为

2x?

________.

9

解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，∴?x＋

?

1?展开式的第四项2x?

3

12136

为T4＝C9·(x)·??＝. ?2x?2答案

21 2

4

8.(2015·全国Ⅱ卷)(a＋x)(1＋x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.

解析 设(a＋x)(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. 答案 3 三、解答题

4

2

3

4

5

?31?9.已知二项式?x＋?的展开式中各项的系数和为256.

?

x?

(1)求n；(2)求展开式中的常数项.

解 (1)由题意得Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝256，

2

0

1

2

nn∴2＝256，解得n＝8.

(2)该二项展开式中的第r＋1项为

rn38－r?1?rTr＋1＝Crx)·＝C8·x8(x??令

8－4r3

，

8－4r2

＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C8＝28. 3

n1

10.已知?＋2x?.

?2?

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项. 解 (1)∵Cn＋Cn＝2Cn，∴n－21n＋98＝0. ∴n＝7或n＝14，

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

4

4

6

5

2

35313

∴T4的系数为C7??2＝，

2?2?

3

?1?24＝70， T5的系数为C47

?2?

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

7

717

∴T8的系数为C14??2＝3 432.

?2?

(2)∵Cn＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0.

∴n＝12或n＝－13(舍去).设第r＋1项的系数最大，

12

12

0122

1112

∵?＋2x?＝??(1＋4x)， 22????

??C124≥C124，∴?rr ∴9.4≤r≤10.4， r＋1r＋1

?C124≥C124.?

rrr－1r－1

又r∈N，∴r＝10.

∴展开式中系数最大的项为第11项，

2

*

?1?·210·x10＝16 896x10. T11＝C1012·

?2?

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

x2

11.设a≠0，n是大于1的自然数，?1＋?的展开式为a0＋a1x＋a2x?a?

n 3

＋…＋anx.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝( ) A.2 C.4

B.3 D.5

n解析 由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4).

12

x?CnCnr?x??故a0＝1，a1＝3，a2＝4.又1＋的通项公式Tr＋1＝Cn(r＝0，1，2，…，n).故＝3，2

aa?a??a?

nr＝4，解得a＝3. 答案 B

12.设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( ) A.5

B.6

mm2m2m＋1

展开式的二项式系数

C.7

mmD.8

13·（2m）！

＝

m！·m！

解析 由题意得：a＝C2m，b＝C2m＋1，所以13C2m＝7C2m＋1，∴

7·（2m＋1）！7（2m＋1）

，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.

m！·（m＋1）！m＋1答案 B

3

13.若(2＋x＋x)?1－

2

?x?

1?的展开式中的常数项为a，则?a(3x－1)dx＝________.

2

?0

3

1331解析 ∵?1－?＝1－＋2－3，

?x?

xxx3

∴(2＋x＋x)?1－

2

?

1?x?

的展开式中的常数项为

a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.

故

? ?

2

a0

（3x－1）dx＝（x－x）?

23

?0＝6.

答案 6

?x＋1?14.若?4?展开式中前三项的系数成等差数列，求：

2x??

n(1)展开式中x的所有有理项； (2)展开式中系数最大的项.

1112

解 易求得展开式前三项的系数为1，Cn，Cn.

241112

据题意得2×Cn＝1＋Cn?n＝8.

24(1)设展开式的通项为Tr＋1，

4

?1??1?r16－3rr8－r由Tr＋1＝C8(x)?4?＝Cx，

2?84??2x?

rr∴r为4的倍数，

又0≤r≤8，∴r＝0，4，8.

0

1016－3×04

故有理项为T1＝??C8x4＝x，

?2?

4

1T5＝??C48x16－3×4

4

?2?

＝35

x， 8

8

1?816－3×81?T9＝C8x4＝2. 256x?2?

rr＋1

rr＋1

r－1

1r1

(2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则：??C8≥??

?2??2?

51?216－3×2

?故展开式中系数最大的项为T3＝C8x4＝7x2， ?2?

3

71?316－3×3

?T4＝C8x4＝7x4. ?2?

C8且?

1?r?1?C8≥?2??2?

C8?r＝2或r＝3.

r－1

2

5