数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分（含习题及参考答案）

证：若[a,b]?(0,+∞), 则对任意x∈[a,b],

?Na2cosxy≤. sinxydy=?axaN??y?y1?y2?又?=≤0, 即关于y单调减, 且当y→+∞时, 2?1?y2?221?y??1?y??y→0(对x一致), 由狄利克雷判别法知, 21?y含参量积分?1??ysinxydy在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, 1?y2?

??1ysinxydy在(0,+∞)上内闭一致收敛. 21?y二、含参量反常积分的性质

定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=?cf(x,y)dy在I上一致收敛，则φ(x)在I上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{An} (A1=c)， 函数项级数φ(x)=??An?1?An?1n??f(x,y)dy=?un(x)在I上一致收敛.

n?1?又由f(x,y)在I×[c,+∞)上连续，∴每个un(x)都在I上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I上连续.

推论：设f(x,y)在I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=?cf(x,y)dy在I上内闭一致收敛，则φ(x)在I上连续.

注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：

x?x0c??lim???f(x,y)dy=?cf(x0,y)dy=?limf(x,y)dy.

cx?x0????

定理19.11：(可微性)设f(x,y)与fx(x,y)在区域I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=?cf(x,y)dy在I上收敛，?cfx(x,y)dy在I上一致收敛，则φ(x)在I上可微，且φ’(x) =?cfx(x,y)dy.

证：对任一递增且趋于+∞的数列{An} (A1=c)，令un(x)=?A由定理19.3推得un’(x)=?Afx(x,y)dy.

n??????An?1nf(x,y)dy.

An?1由?cfx(x,y)dy在I上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数

???un?(x)=??n?1n?1??An?1Anfx(x,y)dy在I上一致收敛.

根据函数项级数的逐项求导定理，即得：

?(x)=??φ’(x) =?unAn?1n?1??An?1nfx(x,y)dy=???cfx(x,y)dy.或写作

??d??fx(x,y)dy. =f(x,y)dy??ccdx

推论：设f(x,y)与fx(x,y)在区域I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=?cf(x,y)dy在I上收敛，?cfx(x,y)dy在I上内闭一致收敛，则φ(x)在I上可微，且φ’(x) =?cfx(x,y)dy.

定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=?cf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且

?????????badx???cf(x,y)dy =?dy?f(x,y)dx.

ca??b证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=??An?1?An?1nf(x,y)dy=?un(x)在I上一致收敛，且

n?1?各项un(x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有

?ba?(x)dx=??un(x)dx=??dx?n?1an?1b?b?bAn?1aAnf(x,y)dy=??n?1?An?1Andy?f(x,y)dx，即

ab?

badx???cf(x,y)dy =?dy?f(x,y)dx.

ca??定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若

(1)?af(x,y)dx关于y在[c,+∞)上内闭一致收敛，?cf(x,y)dy关于x在[a,+∞)上内闭一致收敛；

(2)积分?adx?c|f(x,y)|dy与?cdy?a|f(x,y)|dx中有一个收敛. 则

???????????????adx???cf(x,y)dy=?dy?c????????af(x,y)dx.

????证：不妨设?adx?c|f(x,y)|dy收敛，则?adx?cf(x,y)dy收敛. 当d>c时，记Jd=|?cdy?af(x,y)dx-?adx?cf(x,y)dy| =|?cdy?af(x,y)dx-?adx?cf(x,y)dy-?adx?df(x,y)dy|. 由条件(1)及定理19.12可推得：

Jd=|?adx?df(x,y)dy|≤|?adx?df(x,y)dy|+?Adx?d|f(x,y)|dy. 由条件(2)，?ε>0, ?G>a，使当A>G时，有?Adx?d|f(x,y)|dy<. 选定A后，由?cf(x,y)dy的一致收敛性知，?M>a，使得当d>M时， 有|?df(x,y)dy|<

????????????A??d????d????d???????????????2?2(A?a)??. ∴Jd<+=ε，即有limJd=0，

d??????2?2∴?adx?cf(x,y)dy=?cdy?af(x,y)dx.

例5：计算：J=?0e?px解：∵

??sinbx?sinaxdx (p>0,b>a). xsinbx?sinaxb=?acosxydy，∴xJ=?0edx?acosxydy=?0dx?ae?pxcosxydy.

?px??b??b由|e-pxcosxy|≤e-px及反常积分?0e?pxdx收敛， 根据魏尔斯特拉斯M判别法知，

含参量反常积分?0e?pxcosxydx在[a,b]上一致收敛.

又e-pxcosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=?a

例6：计算：?0??b????dy?e?pxcosxydx=?0??babapdy=arctan- arctan.

ppp2?y2sinaxdx. x??解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=?0e?pxasinaxdx=arctan (p>0).

px由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p≥0上连续，且F(0)=?0??sinaxdx. x??sinaxπaπ又F(0)=lim?F(p)=lim?arctan=agn a. ∴?0dx=agn a.

p?0p?0p22x

例7：计算：φ(r)=?0e?xcosrxdx..

解：∵|e?xcosrx|≤e?x对任一实数r成立且反常积分?0e?xdx收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=?0e?xcosrxdx在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分?0(e2222??2??2??2???x2cosrx)?rdx=??xe?xsinrxdx，

0??2??2∵|-xe?xsinrx|≤xe?x对一切x≥0, r∈(-∞,+∞)成立且?0e?xdx收敛， 根据魏尔斯特拉斯M判别法知， 含参量反常积分?0(e???x2cosrx)?rdx在(-∞,+∞)上一致收敛.