2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程第二章 2.2 2.2.2

(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次－－－

射击恰有3次连续击中目标”为事件C，则C＝A1A2A3A4∪A1A2A3A4，且A1A2A3A－

4与A1A2A3A4是互斥事件．

由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，

－

所以Ai与Aj(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立． 2

由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝3， －－

故P(C)＝P(A1A2A3A4∪A1A2A3A4)

－－

＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4) ?2?11?2?16＝?3?3×3＋3×?3?3＝81. ????

(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后终止射击”，

－－－－－则D＝B1B2B3B4∪B1B2B3B4， －－－－－

且B1B2B3B4与B1B2B3B4是互斥事件． 由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，

－

所以Bi与Bj(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立． 3

由于P(Bi)＝4(i＝1,2,3,4)，

－－－－－

故P(D)＝P(B1B2B3B4∪B1B2B3B4) －－－－－

＝P(B1B2B3B4)＋P(B1B2B3B4)

－－－－－

＝P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)＋P(B1)·P(B2)P(B3)P(B4) 3?3??1?3?1?

＝?4?2×?4?2＋4×?4?3＝64. ??????拓展提升

常见事件与概率间的关系

已知两个事件A，B，它们的概率为P(A)，P(B)．将A，B中至少有一个发生－－

记为事件A∪B，都发生记为事件AB，都不发生记为事件AB，恰有一个发生记－－－－－－

为事件AB∪AB，至多有一个发生记为事件AB∪AB∪AB，为方便同学们记忆，我们用表格的形式将其展示出来．

概率 P(A∪B) P(AB) －－P(AB) －－P(AB∪AB) －－－－P(AB∪AB∪AB) [跟踪训练3] 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加1

工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4，乙机床加工的零件1

是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12，甲、丙两台机床加工的零2

件都是一等品的概率为9.

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．

解 (1)设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题意得

A与B相互独立 －－1－P(A)P(B) P(A)P(B) －－P(A)P(B) －－P(A)P(B)＋P(A)P(B) 1－P(A)P(B) ??－1?P?BC?＝12，?P?AC?＝2，?9

－1P?AB?＝4，

??1

则?P?B?[1－P?C?]＝12，②

2?P?A?P?C?＝?9.③

1

P?A?[1－P?B?]＝4，①

9

由①③得P(B)＝1－8P(C)，

代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0， 211

解得P(C)＝3或P(C)＝9(舍去)． 21

将P(C)＝3代入②得P(B)＝4， 11

将P(B)＝4代入①得P(A)＝3.

112

故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是3，4，3. (2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，

－2315

则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－3×4×3＝6. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率5为6.

1.相互独立事件与互斥事件的区别

2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.

此性质还可推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).

3.求复杂事件概率的步骤

(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；

(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.

1．下列事件A，B是相互独立事件的是( )

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”