2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程第二章 2.2 2.2.2

探究1 事件独立性的判断

例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：

(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

5

(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为8，若这一事件发4

生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为7，若前5

一事件没有发生，则后一事件发生的概率为7.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．

(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB31211

＝{6}，∴P(A)＝6＝2，P(B)＝6＝3，P(AB)＝6，

∴P(AB)＝P(A)·P(B)， ∴事件A与B相互独立． 拓展提升

(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．

(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．

[跟踪训练1] 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：

(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．

解 (1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}包含4个基本事件，由等可能性知每个基本1事件的概率均为4.

这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 131

于是P(A)＝2，P(B)＝4，P(AB)＝2.

由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．

(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}包含8个基本事件，由等可能性知每个基本事件的1

概率均为8.这时A包含6个基本事件，B包含4个基本事件，AB包含3个基本事件．

63413

于是P(A)＝8＝4，P(B)＝8＝2，P(AB)＝8，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立． 从而事件A与B是相互独立的． 探究2 相互独立事件概率的计算

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例2 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为2与5. (1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率． [解] (1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)－1－312

＝2，P(B)＝5，P(A)＝2，P(B)＝5.

－－

∴恰好命中一次的概率为P＝P(AB)＋P(AB) －－

＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) 1312＝2×5＋2×5 51＝10＝2.

(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P1，则 －－－－P1＝P(A∩A∩B∩B) －－－－＝P(A)P(A)P(B)P(B) 1??2??

＝?1－2?2×?1－5?2 ????9＝100.

91

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝100. 拓展提升

(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积．

(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．

[跟踪训练2] 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的

三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．

解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，

－－－

所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.

(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 －－－P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)

－－－＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 －－－

P2＝1－P(ABC) －－－

＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 探究3 相互独立事件的综合应用

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例3 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是3和4.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；

(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．

[解] (1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”． 依题意知，事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为 231

P(AB)＝P(A)P(B)＝3×4＝2.