2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(山东专版)(解析卷)

∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）EG2=GF?AF．

理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴

，即DF2=FO?AF．

∵FO=GF，DF=EG， ∴EG2=GF?AF．

（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0． 解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）． ∵DF=GE=2∴AD=

，AF=10，

=4

．

∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD． ∴∴GH=

，即．

﹣

=

．

=

．

∴BE=AD﹣GH=4

12．（2018?烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为

上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．

（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；

（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线； （3）在（2）的条件下，若AD=

，求

的值．

解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB， ∴∠EDB=∠EBD=α， ∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α， ⊙D中，∵DC=DE=AD，

∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，

△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°， ∴∠CAD=

（2）设∠MBE=x， ∵EM=MB， ∴∠EMB=∠MBE=x，

当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°， ∴∠CED+∠MEB=90°， ∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，

△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°， ∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴， ∴∠CAD=45°；

=

；

（3）由（2）得：∠CAD=45°； 由（1）得：∠CAD=∴∠MBE=30°， ∴∠CED=2∠MBE=60°， ∵CD=DE，

∴△CDE是等边三角形， ∴CD=CE=DE=EF=AD=

，

， ；

Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=∴EM=1，MF=EF﹣EM=

﹣1，

△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°， △CNE中，∠CEN=∠BEF=30°， ∴∠CNE=75°， ∴∠CNE=∠NCB=75°， ∴EN=CE=∴

=

， =

=2+

．

13．（2018?泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD． （1）求证：△ECG≌△GHD；

（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

解：（1）∵AF=FG，

∴∠FAG=∠FGA， ∵AG平分∠CAB， ∴∠CAG=∠FGA， ∴∠CAG=∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC，

∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED， ∵F是AD的中点，FG∥AE， ∴H是ED的中点，

∴FG是线段ED的垂直平分线， ∴GE=GD，∠GDE=∠GED， ∴∠CGE=∠GDE， ∴△ECG≌△GHD；

（2）证明：过点G作GP⊥AB于P， ∴GC=GP，而AG=AG， ∴△CAG≌△PAG， ∴AC=AP，

由（1）可得EG=DG， ∴Rt△ECG≌Rt△GPD， ∴EC=PD，

∴AD=AP+PD=AC+EC； （3）四边形AEGF是菱形， 证明：∵∠B=30°， ∴∠ADE=30°， ∴AE=AD， ∴AE=AF=FG， 由（1）得AE∥FG，