北航概率统计2009.2

三、（满分12分）

解 （1）根据题意知，随机变量X可能取的值为：1，2，3; P{X?3}?1333?127,P{X?2}?2?13333?727 , P{X?1}?3?23333?1927,……6分

即随机变量X的分布律为

X P 1 19272 7273 127 …………8分 ?0,x?1?19?,1?x?2?27（2）X的分布函数为F(x)??P{X?xk}?? ………………………12分

26xk?x?,2?x?3?27??1,x?3

四、（满分12分）

解 (1) 由1??????f(x)dx????xae?e?x??dx?a?2??ee2xx???1dx

?aarctane|???a?x???2,得a??;...................................4分

xt(2) X的分布函数为F(x)??x??f(t)dt??xae?e2?t??dx?2??xee2tt???1dt

?(3) P{0?X?ln2?arctane|???3)?F(0)?t?arctane,???x???;……………8分

x3}?F(ln2??1(?)? ……………………………12分 ?346

A6-8

五、（满分8分）

解 E?X?Y?? ?1????x0??????(x?y)f(x,y)dxdy………………………………………………2分

?(?0(x?y)2dy)dx??10(2x?x)dx?x|0?1,………………………4分

2231E?XY?????????????xyf(x,y)dxdy……………………………………………………6分

?10(?(xy)2dy)dx?0x?10x?xdx?214x|0?4114 …………………………………………8分

六、（满分12分）

解 由正态总体样本函数的分布知， （1）X~N(?1,1n?),Y~N(?2,221m1m?)，……………………………………4分

2（2）X?Y~N(?1??2,?(1n?))，………………………………………6分

经标准化得到

X?Y?(?1??2)?1n?1m2~N(0,1)；……………………………………8分

（3）又由定理三知

(n?1)S1?2~?(n?1)，…………………………………………10分

2再由t分布定义知 T?X?Y?(?1??2)S11n?1m?X?Y?(?1??2)?1/n?1/m/(n?1)S122?(n?1)~t(n?1)，

即 T?X?Y?(?1??2)S11n?1m~t(n?1)。…………………………………12分

A6-9

?1,0???2??七、（满分8分）解（1）?的概率密度f(?)??2?；……………2分

?0,其它?（2） E[X(t)]?E[acos(?t??)]???????acos(?t??)f(?)d?

?2?0acos(?t??)12?d??0;

E[X(t)X(t??)]?E[acos(?t??)?acos(?(t??)??)]

2?E[a212(cos(?t??(t??)?2?)?cos??)]

2?a2[E(cos(?t??(t??)?2?))?E(cos??)]?a2a2cos??；

E[(X(t))]?22cos??|??0?2a22是常数,………………………………………………6分

（3）因为，E[(X(t))]存在，E[X(t)]是常数，E[X(t)X(t??)]仅依赖于?; 所以X(t)?acos(?t??)是广义平稳过程…………………………………………………8分

八、（满分12分）（此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做）

解 (1) 根据题设条件，知道X1,X2,?,Xn,?是相互独立的,所以 {Xn,n?1,2,?}是马尔可夫链,又转移概率P{Xn?1?j|Xn?i}?P{Xn?1?q,j?0?j}??与n无关,

p,j?1?故{Xn,n?1,2,?}是齐次马尔可夫链;………………………………………………………4分 (2) 状态空间S?{0,1},一步转移概率矩阵P?(pij)???qp??, ??pij?P{X?j|X?i}?P{X?q,j?0?j}?? ………………………8分

p,j?1??qp?n?1nn?1(3) 二步转移概率矩阵

P(2)?q?P???q2(n)p??q??p??q?(p(n)ijnp??q(q?p)???p??(q?p)q(q?p)p??q???(q?p)p??qp?? p?n步移概率矩阵P?q)?P?P???qA6-10

p?? 。…………………………12分 p?

[七]、（满分8分）证明 对任意实数t,恒有

E(Y?tX)?tEX?2tEXY?EY?0,……………………4分

当EX22222?0时，取t??2EXYEX2，代入上式，………………………………6分

则有EY?2(EXY)EX22?0；

2 (EXY)?[EX]?[EY], 即得 |E[XY]|?[EX]22212?[EY]212 ；……………………………………8分

（或直接由判别式??b?4ac?0，得

(2EXY)?4[EX]?[EY]?0，

即得(EXY)?[EX]?[EY], 于是 |E[XY]|?[EX]当EX2222222212?[EY]212。）

2?0时，对任意实数t,恒有2tEXY?EY?0，

212必有EXY?0，于是自然有 |E[XY]|?[EX]结论得证。

?[EY]212，

[八]、（满分12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）

解：此题是在已知??6.75的情况下，

（1）检验假设H0:??72,………………………………………………………………2分 （2）选检验用的统计量U?x??0~N(0,1),…………………………………………4分

?n（3）现在n?25,x?68.6,u0?x??0?n?|69.3?72|?2.00,………………6分

6.755?z0.975?1.96,………………………8分

（4）对于??0.05，查标准正态分布表得z1??2（5）因为u0?2.00?1.96?z1??2，…………………………………………………10分

（6）故拒绝H0，说明该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。………12分

A6-11