高三数学一轮复习精品学案5：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

『最新考纲』 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．

『知识梳理』

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p?q，那么p与q互为充要条件．

(3)如果p?/q，且q ?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 4．集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有 (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B(3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A

B，且B

A，则p是q的既不充分也不必要条件．

B，则p是q的充分不必要条件． A，则p是q的必要不充分条件．

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『自学检测』

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)语句x2－3x＋2＝0是命题．( ) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则

q”．( )

(3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”．( ) (4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同．( ) π

2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )

4π

A．若α≠，则tan α≠1

4π

B．若α＝，则tan α≠1

4π

C．若tan α≠1，则α≠

4π

D．若tan α≠1，则α＝ 4

3．(2015·重庆卷)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的( )

2A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

5．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤ sin B”的( )

A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 『反思与感悟』

1.在“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．

2.两条规律

（1）逆命题与否命题互为逆否命题； （2）互为逆否命题的两个命题同真假． 3.充分条件、必要条件的判断方法有以下三种：

（1）定义法. 直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．

（2）等价法. 利用p?q与q?p，q?p与p?q，p?q与q?p的等价关系．对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

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（3）集合法. 设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，若A?B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 『课后检测』

一、选择题

1．(2015·安徽卷)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．(2015·山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

3．已知条件p：x≤1，条件q：x2－x＞0，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是( ) A．『2，＋∞) C．『1，＋∞)

B．(2，＋∞) D．(－∞，－1』

6．(2015·陕西卷)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 二、填空题 7．已

1

8．“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．

4

9．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，知

则实数a的取值范围是________． a， b，c都 是实

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三、解答题

10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．

11．若x＜m－1或x＞m＋1是x2－2x－3＞0的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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