基本初等函数、导数及其应用 第3课时

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解析：选A.函数y＝x－x3为奇函数．当x＞0时，由x－x3＞0，即x3＞x可得x2＞1，即x＞1，结合选项，选A.

考向三 函数的周期性及应用

已知f(x)是R上的偶函数，若将f(x)的图象向左平移一

个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f(2)＝2 014，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2 014)的值为( )

A．－2 014 B．2 014 C．0 D．503

【审题视点】 本题函数关于x＝0对称，又关于(1，0)对称，故为周期函数T＝4.

【典例精讲】 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．由f(x)的图象向左平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，可知函数f(x)的对称中心为(1，0)，即f(2－x)＝－f(x)．令x＝1，可得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0；

由f(x)为偶函数可得f(2－x)＝f(x－2)，所以f(x－2)＝－

f(x)，即f(x)＝－f(x－2)．故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－(－f(x))

＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.

所以f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝f(1)＝0，f(4)＝－f(4－2)＝－f(2)＝－2 014.而2 014＝4×503＋2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2 014)＝503[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝0＋0＋2 014＝2 014.

【答案】 B

【类题通法】 判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.

1

②f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是

f（x）它的一个周期；

③f(x＋a)＝－一个周期．

1

，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的

f（x）

f（x－4），x＞0??

3．(2014·山西省高三诊考)若f(x)＝?x1，

2＋，x≤0??3

则f(2 014)＝( ) 75

A. B. 1238C．2 D.

3

1

解析：选A.依题意，f(2 014)＝f(4×504－2)＝f(－2)＝2＋

3

－2

7

＝，选A. 12

[对应学生用书P17]

抽象函数的单调性、周期性、奇偶性

(2014·泰安模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋

1)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．

【方法分析】 (1)弄清题目条件是什么，解题目标是什么？题目条件有：①定义域为R，②f(x)是偶函数，③f(x＋1)＝－f(x)恒成立，④f(x)在[－1，0]是增函数．

解题目标：①求f(x)的周期，②判定f(x)图象对称性，③判定

f(x)在[1，2]上的单调性，④判定f(2)＝f(0)是否成立．

(2)探索关系：已知与未知、条件与目标的转化关系． ①根据给出的函数值的等式，f(x＋1)＝－f(x)，把其中的x替换成x＋1后，再次使用上面关系可得f(x＋2)＝f(x)，②再根据函数是偶函数，可得f(x＋2)＝f(－x)，即可得函数图象关于直线x＝1对称，③再根据函数是偶函数，其图象还关于y轴对称，即可根据函数在已知区间上的单调性推断该函数在未知区间上的单调性．④根据周期性判定f(2)＝f(0)．

【解答过程】 由f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝－f(x＋1)＝

f(x)，故函数f(x)是周期函数，命题①正确；由于函数是偶函数，

故f(x＋2)＝f(－x)，函数图象关于直线x＝x＋2－x2

＝1对称，故命

题②正确；由于函数是偶函数，故函数在区间[0，1]上递减，根据对称性，函数在[1，2]上应该是增函数(也可根据周期性判断)，故命题

③不正确；根据周期性，f(2)＝f(0)，命题④正确．故填①②④.

【答案】 ①②④

【回归反思】 ①此题考查了函数性质的应用，若熟悉“f(x＋

a)＝f(x)，则T＝2a”的结论就可直接得出答案T＝2；

②求周期即求“使f(x＋T)＝f(x)”中的常数T，也可以这样推： 由f(x＋1)＝－f(x)?f(－x＋1)＝－f(x) ?f(－x＋1)＝f(x＋1)?关于x＝1对称 ?f(x)＝f(2－x)?f(x)＝f(2＋x)?T＝2. ③不完全归纳法也可以推导周期 由f(x＋1)＝－f(x)?f(1)＝－f(0) 也可推f(2)＝－f(1)＝f(0)，猜想T＝2.

④当推出周期T＝2后，由偶函数性质可得[0，1]上的图象，利用数形结合法可得此题答案(如下图)

⑤此题易变错为：如本题由偶函数，把f(x＋1)＝－f(x)错变为

f(－x－1)＝－f(x)＝f(x)．

1．(2013·高考山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，

f(x)＝x＋，则f(－1)＝( )

xA．2 B．1 C．0 D．－2

解析：选D.利用奇函数的性质f(－x)＝－f(x)求解． 1

当x＞0时，f(x)＝x＋，∴f(1)＝1＋＝2.

x1

2

2

2

1

1