基本初等函数、导数及其应用 第3课时

(2)要使f(x)有意义，则

1－x≥0， 1＋x解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

2

??4－x≥0，(3)∵?

?|x＋3|≠3，?

∴－2≤x≤2且x≠0.

∴函数f(x)的定义域关于原点对称． 4－x24－x2

又f(x)＝＝，

x＋3－3x4－（－x）24－x2

f(－x)＝＝－，

－xx∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数． 【类题通法】 判断函数奇偶性的常用方法及思路 (1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性．

1．判断下列函数的奇偶性．

1－x(1)f(x)＝lg ；

1＋xlg（1－x2）

(2)f(x)＝2.

|x－2|－2

1－x解析：(1)由＞0?－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－

1＋x?1－x?－11＋x1－x?x)＝lg ＝lg?＝－lg 1＋x1－x1＋x??

＝－f(x)， 故原函数是奇函数．

2

??1－x＞0，(2)由?2得

?|x－2|－2≠0?

定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称， lg（1－x2）lg（1－x2）∴f(x)＝＝－.

－（x2－2）－2x2lg[1－（－x）2]

∵f(－x)＝－ 2

（－x）＝－

lg（1－x2）

x2

＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

考向二 函数奇偶性的应用

2x－k·2－x (1)(2014·洛阳市高三统考)若函数f(x)＝x(k2＋k·2－x为常数)在定义域内为奇函数，则k的值为( )

A．1 B．－1 C．±1 D．0

(2)(2014·山东高考原创卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则函数f(x)的大致图象为

( )

(3)(2014·乌鲁木齐地区二诊)已知偶函数f(x)(x≠0)在区间(0，＋∞)上(严格)单调，则满足f(x2－2x－1)＝f(x＋1)的所有x之和为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【审题视点】 (1)借助f(－x)＝－f(x)恒成立求k. (2)借助奇函数的对称性特点判断

(3)借助偶函数定义f(－x)＝f(x)＝f(|x|) 2－x－k·2x【典例精讲】 (1)依题意，f(－x)＝－x

2＋k·2x2x－k·2－x＝－x，

2＋k·2－x即(2－x－k·2x)(2x＋k·2－x)＝(2－x＋k·2x)(－2x＋k·2－x)， ∴k2＝1，k＝±1，选C.

(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数知，函数f(x)的图象过原点且关于原点对称，故可排除A、C，由f(x)在[0，＋∞)上为增函数，可排除D，由题易知，f(0)＝0，得m＝－1，即当x≥0时，f(x)＝3x－1；设x＜0，则－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(3－x－1)＝－3－x＋1.

x??3－1（x≥0）

故f(x)＝?.故选B. －x??－3＋1（x＜0）

(3)依题意得，方程f(x2－2x－1)＝f(x＋1)等价于方程x2－2x－1＝x＋1或x2－2x－1＝－x－1，即x2－3x－2＝0或x2－x＝0，因

此所有解之和为3＋1＝4，选D.

【答案】 (1)C (2)B (3)D

【类题通法】 (1)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值

常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．

(2)应用奇偶性画图象和判断单调性

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

2．(1)(2014·广州市高三调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．

解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4， 又f(x)是奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2. 答案：2

1

(2)(2014·济南市高考模拟)函数y＝x－x3的图象大致为( )