基本初等函数、导数及其应用 第3课时

第3课时 函数的奇偶性与周期性

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

[对应学生用书P15]

【梳理自测】

一、函数的奇偶性

1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是( )

A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数 C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数 1

2．f(x)＝－x的图象关于( )

xA．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称

3．下列函数中，所有奇函数的序号是________，偶函数序号是________．

2x＋1423

①f(x)＝2x＋3x；②f(x)＝x－2x；③f(x)＝；④f(x)＝

xx3＋1.

答案：1.B 2.C 3.②③ ① ◆以上题目主要考查了以下内容：

奇偶性 偶 函 数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有关于y轴图象特点 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有对称 奇 函 数 关于原点对称 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 二、函数的周期性 已知f(x)在R上满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x2，则f(2 014)＝( )

A．－8 B．8 C．－9 D．9 答案：B

◆此题主要考查了以下内容：

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数

y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【指点迷津】

1．一条规律

奇、偶函数的定义域关于原点对称．

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2．两个性质

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

3．三条结论

(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝

f(x)(其中a＜b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．

(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

[对应学生用书P15]

考向一 判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝3－x2＋x2－3； (2)f(x)＝(x＋1)

1－x； 1＋x4－x2

(3)f(x)＝.

|x＋3|－3

【审题视点】 首先确定函数的定义域，关于原点对称，再看是否满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．

2

??3－x≥0，

【典例精讲】 (1)由?2

?x－3≥0，?

得x＝－3或x＝3.

∴函数f(x)的定义域为{－3，3}．

∵对任意的x∈{－3，3}，－x∈{－3，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，

∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．